Tema
A unas horas del parcial me tope con este ejercicio y me gustaria saber como se hace...
Factorizar F=x^4-4x^3+5x^2+2x+52 sabiendo que no tiene raíces reales y que tiene una raiz compleja z con |z|=raiz(13) y otra w con arg(w)=(2/3)*Pi
Muchas Gracias!!
Se me ocurrió lo siguiente:
Llamemos \(p\) a tu polinomio. Como tenés una solución con \(arg(w) = \frac{2 \pi}{3}\), planteas \(w= |w|e^{2\pi / 3}\) y reemplazás en tu polinomio, e igualás a cero. Ahora, como \(p \in \mathbb R[X]\), entonces \(\overline w = |w| e^{4\pi / 3}\) también es raíz del polinomio. Reemplazás, igualás a cero, y te queda que
Despejando, queda que
De eso se deduce que \(|w|^4 -5|w|^2 + 2|w| = 0\), y si buscás raíces fáciles de esa ecuación, te da que \(|w| = 0, 2\) o cosas feas. Probás con 2 en \((*)\). Entonces tenés que \(w = 2 e^{2 \pi / 3}\) es raíz de \(p\), y \(2 e^{4 \pi / 3}\) también. Entonces \(q = (X - w)(X - \overline w) = X^2 + 2 + 4\) divide a \(p\). Dividísa p por q y te queda un polinomio de grado dos, de donde sacás las raíces.
Entonces \(q = (X - w)(X - \overline w) = X^2 + 2 + 4\)
Por qué queda eso???
a mi me da \(X^2 + 2X(e^{{4 \pi}/{3}} + e^{{2 \pi}/{3}}) + 4\)
hookdump escribió:
Entonces \(q = (X - w)(X - \overline w) = X^2 + 2 + 4\)
Por qué queda eso???a mi me da \(X^2 + 2X(e^{{4 \pi}/{3}} + e^{{2 \pi}/{3}}) + 4\)
En realidad es \(X^2 - 2X(e^{{4 \pi}/{3}} + e^{{2 \pi}/{3}}) + 4\).
Y tenés que: \(e^{{4 \pi}/{3}} + e^{{2 \pi}/{3}} = cos(4\pi/3) + i \cdot sen(4\pi/3) + cos(2\pi/3) + i \cdot sen(2\pi/3) = - 1\)
Entonces \((X - w)\cdot(X - \overline w) = X^2 + 2X + 4\) (Yossarian se olvidó la X.)
Una cosa interesante es que si vos multiplicás \((X - w)\cdot(X - \overline w)\) siempre vas a tener por resultado un polinomio con coeficientes reales, porque \((X - w)\cdot(X - \overline w) = X^2 - X (w + \overline w) + w \overline w = X^2 - X\cdot(2 Re(w)) + |w|^2\). Quiero decir, si haces ese producto y te queda alguna \(i\) por ahí metida, tendrías que sospechar 😉
Joya, muchas gracias!!!!!!!!!!!!
Sorry por el revive alevoso del post...,
Pero queria preguntar si no hay otra forma de hacerlo q no sea la exponencial, osea polares o rectangulares, xq no nos enseñaron exponencial y del cbc no me acuerdo... 😄
La exponencial es una notacion para la forma polar:
Quimey
Quimey escribió:
La exponencial es una notacion para la forma polar:
\(e^{a+bi}:=e^a(\cos(b)+i \sin(b))\)
Gracias! pero en la resolucion no vi que usaran en ningun momento que \(|z|=\sqrt{13}\)....
Capaz que usando eso se podia hacer mas facil...
Yo hice así (utilizo que \(|z|=\sqrt{13}\)):
Como \(f\) no tiene raíces reales, entonces f es irreducible en \(\mathbb{Q}[X]\), luego todas las raíces de \(f\) en \(\mathbb{C}\) son simples. Entonces todas las raíces de \(f\) son \(z, \overline{z}, w, \overline{w}\).
Primero escribo a \(f\) en su forma factorizada con z y w:
\(f=1.(x-z) (x-\overline{z}) (x-w) (x-\overline{w})\).
Si distribuyen todo les queda:
Igualamos los coeficientes de \(f\) del enunciado con los coeficientes de esta expresión gigante y les queda un sistema re pavo 😛 del cual sale que \(|w|=2\) y \(Re{(z)}=3\) y \(Re{(w)}=-1\). Después, para sacar la parte imaginaria de z, hacen:
\(|z|=\sqrt{{Re{(z)}}^2+{Im{(z)}}^2}=\sqrt{9+{Im{(z)}}^2}=\sqrt{13}\) Y de acá sale, despejando, que la parte imaginaria de z es 2 ó -2. Es decir, en realidad una es la de z y la otra es la de \(\overline{z}\).
Para sacar la parte imaginaria de w, escribo w en su forma trigonométrica:
\(w=|w| (cos(\frac{2}{3} \pi)+ i sen(\frac{2}{3} \pi) = 2 (-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + \sqrt{3}i\). Por lo tanto, \(\overline{w}=-1-\sqrt{3}i\).
Entonces la factorización de \(f\) en \(\mathbb{C}[X]\) es:
Y eso es todo.
Espero q les sirva y no haberme equivocado! 😉