Quizás se halla resuelto en alguna parte del foro, pero yo no pude encontrarlo. Espero que alguien pueda darme una mano con este ejercicio:
Factorizar sobre \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\) el polinomio \(f = x^4 + x^3 - 3 x^2 + 4x -2\) sabiendo la suma de tres de sus raíces es \(-3/2 + i . \sqrt{3}/2\).
Usando el criterio de Gauss sólo concluyo en que no tiene raíces racionales. No sé cómo usar el dato ni como sacar algo en claro para los reales y complejos.
Se sabe que la suma de las raices de un polinomio monico es menos el coeficiente del termino de grado n-1 (en este caso 3).
Con ese dato sacas una de las raices, otra es la conjugada, dividis y te queda un polinomio de grado 2 que le calculas las raices con la formulita
Se sabe que la suma de las raices de un polinomio monico es menos el coeficiente del termino de grado n-1 (en este caso 3).
Con ese dato sacas una de las raices, otra es la conjugada, dividis y te queda un polinomio de grado 2 que le calculás las raices con la formulita
En este caso es 1, si entendí bien.
Entonces te queda que:
\(\alpha_n\) son las raíces del polinomio
\(A_n\) son los coeficientes del polinomio, donde \(A_4\) es el coeficiente de \(x^4\), \(A_3\) es el coeficiente de \(X^3\), etc...
Como vos sabes la suma de 3 de las raíces, sabes que
\(\alpha_1 = \frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\) Por lo tanto su conjugado tb es raíz.
Como dijo Quimey en el post anterior, despues te queda un polinomio de grado 2 al que le sacas las raíces y lo factorizas como te piden.
Corriganme si le estoy pifiando, la suma de las raíces no la tengo tan clara en general, en clase solo dieron la suma de las raíces de un polinomio de grado 3, como estaba paja no anote la formula general, asi que para sacar esto me mandé toda la cuenta 😛
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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...
Si enténdí la notación, debería ir \(\frac{1}{{A}_{4}}\), porque cuando no es mónico, sacás factor común \({A}_{4}\) y te queda dividiendo en cada término. Después es eso que hiciste.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities