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Aca dejo uno que le di vueltas y no lo puedo terminar. Solo pude ver que -1 es raiz doble pero despues si tengo que dividir me aparecer polinomios de grado 13 y es un lio... nose si es la unica manera o hay algo que se me escapa.
Desde ya muchas gracias.
no lo hice...pero te doy una pista:
si \(a\) es raíz de orden n de P entonces es raíz de todos sus polinomios derivados hasta el orden n
Moraleja: estudiá raíces en el polin derivado
Gracias por la ayuda... entonces lo que me decis es que si por ejemplo derivo 3 veces el polinomio, y encuentro que a es raiz de ese polinomio, entonces siempre pasa que a es raiz del polinomio original?
Si derivo recuerdo que me quedaba estudiar las raices complejas que eran las primitivas de \({G}_{14}\) pero como no sabia si se podia volver para atras segui con otro ejercicio.
Bueno en cuanto pueda arranco de nuevo con el ejercicio.
Gracias por tus comentarios
A ver...
Está bien derivar y estudiar las raíces de orden 14 de la unidad, pero tenés qe ver que sean raíces del poli original.
Lo que no es cierto es que si a es raíz de P' lo sea de P. Pero si a es raíz de P' y es de P entonces es al menos raíz doble de P. Esto sería la "versión práctica" del siguiente resultado:
"Si a es raíz de orden n de P, entonces es raíz de P',P'', ... P derivado n veces."
Lo que te permite esto es encontrar con rapidez raíces múltiples, y como el ejercicio te pide cuántas raíces "diferentes" hay (en este caso no más de 15) podés estudiar si esas poquitas que encontraste son raíces del derivado y de ahí contar con multiplicidad a las raíces. ¿Se entendió? obvio que sería mucho mejor que lo escribas... así te das cuenta.
Suerte!
Entonces veamos...
Entonces esos \({w}_{k}\) son raices del polinomio \({f}^{'}\), lo que deberia ver
es cual de esos \({w}_{k}\) es raiz de f no?
Si es asi, ese \({w}_{k}\) es raiz doble. (tambien usando que si algun \({w}_{k}\) es raiz tambien lo es su conjugado para no hacer todas las cuentas
Hipoteticamente hablando. En el mejor de los casos esos 6 son raices dobles, serian 12 raices, mas la doble (x - 1) serian 14, mas 1 mas que no conozco, entonces bastaria con responder que existes "8 raices distintas". Correcto?
Gracias por la ayuda.
Hola!
bueno a ver...
Fijate que el polinomio derivado tiene a -1 por raíz que también es raíz de P. Cuando lo factoricés te quedaá algo así:
\(P(X)=(X+1)^2Q(X)\) donde Q tiene grado 13, aparte Q tiene coeficientes reales.
Claramente P'' tiene como única raíz al 0, que no es raíz de P, luego P no tiene raíces de orden 3 o mayor.
Como tiene coeficientes reales, si tiene raíces complejas, tienen que venir de a pares conjugados (esto porq ue si z es raíz su conjugdo tmbién , en polinomio s reales) así que seguro tenés una raíz real más, digamos r. Ahora, los únicos número reales que resuelven P'=0 son 1 y -1, pero es claro que 1 no es raíz, luego esa raíz que tenías, la r, debe ser simple.
Es decir que hasta ahora tenés -1 raíz doble, una raíz real r simple, y te queda un polinomio con coeficientes reales de grado 12.
Ahora bien, siendo \(w\) una raíz 14 de la unidad (no necesariamente primitiva) ocurre que :
\(w^{15}-15w-14=w-15w-14=-14w-14=0\) esto ocurre sí y sólo sí \(w=-1\) o sea que LA ÚNICA RAÍZ DOBLE de este polinomio es -1.
Finalmente las raíces complejas deben ser 12, así que entotal hay 14 raíces distintas. 🙂
espero que se entienda
Ooooo iluminado... no se me habria ocurrido evaluar con w... ya me veia haciendo 14 casos ajajaja.
Se entendio perfecto...
Muchas gracias por tu ayuda y por tu tiempo.
Hola. Que tal?
Muy buena la explicacion. Solo tenia una duda, por un lado entendí perfectamente que la cantidad de raices distintas son en total 14 pero no entendí de donde se puede deducir que las raices complejas simples son 12. No podria haber mas raices reales simples?
Saludos. Y muchas gracias de antemano.
No sabes si son reales o no, pero no importa, en particular son complejas (pues los reales estan incluidos en los complejos poniendo parte imaginaria igual a 0)
Quimey
Perfecto!!! Ahora quedó clarísimo.
Muchas gracias!!!