Bueno aca dejo uno bastante facil me parece pero kpz en alguna de esas a alguien le pueda resultar util...
Factorizar en \(\mathbb{Q}[X] , \mathbb{R}[X] ,\)\(y\) \(\mathbb{C}[X]\) el polinomio
<div class="math math-display">$$f(x) = 2{X}^{5} + 7{X}^{4} - 6{X}^{3} - 47{X}^{2} - 36X + 30$$</div>
Sabiendo que el productio de 4 de sus raices es \(\frac{5}{2}\sqrt{6}.\)
Sabemos que el \({a}_{o}\) de un polinomio es el resultado del producto de todas sus raices por el coeficiente principal y tmb por \({-1}^{n}\) donde n es el Grado del polinomio .
Teniendo esto en cuenta, tomo \(a,b,c,d,e\) \(\in \mathbb{C} [X]\) como las raices de \(f(x)\), entonces por el enunciado sabemos que \(abcd = \frac{5}{2}\sqrt{6}\)
Asi \(({-1}^{5})2[(abcd) \cdot e]=30\) \(\Rightarrow\) \(-2[\frac{5}{2}\sqrt{6} \cdot e]=30\) \(\Leftrightarrow\)
\(\sqrt{6}e = \frac{30}{-5}\) \(\Leftrightarrow\) \(e=\frac{-6}{\sqrt{6}} = -\sqrt{6}\).
En conclucion \(-\sqrt{6}\) es raiz, pero ademas, tambien sabemos que \(\sqrt{6}\) es raiz ya que \(f(x) \in \mathbb{Z}\)
Entonces dividimos a \(f(x)\) por \((x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6}) = ({x}^{2} - 6)\)
Despues de hacer las cuentas te queda \(f(x) = ({x}^{2} - 6)(2{x}^{3} + 7{x}^{2} + 6X - 5)\)
Con Gauss sacas que \(2{x}^{3} + 7{x}^{2} + 6X - 5\) tiene a \(\frac{1}{2}\) como raiz.
Asi \(f(x) = ({x}^{2} - 6)(x - \frac{1}{2})(2{x}^{2} + 8X + 10)\) y con Formulita te queda,
\(f(x) = (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})(x - \frac{1}{2})(x - (-2 - \sqrt{24}i))(x - (-2 + \sqrt{24}i)) \in \mathbb{C} [X]\)
Falta hacer la distributiva dependiendo el cuerpo pero eso se lo dejo a usted.
Bueno espero que le sirva a alguno.