[Parcial 20/02/2009] Inducción...

Buenas, quizás puedan ayudarme con este ejercicio que no me salió en el parcial, y la verdad me quemó la cabeza.

**Probar que la siguiente desigualdad vale para todo n >= 2 :

2!.4!.6!.8!......(2n)! > [(n+1)!]^n**

Espero que por lo menos fuese un ejercicio difícil...

Saludos

Asumiendo que para \(n\eq=2\) ya está comprobado, va el paso inductivo:
Por hipótesis inductiva, \(\prod_{i\eq=1}^{n}(2i)!>{[(n+1)!]}^{n}\)(1). Querés ver que \(\prod_{i\eq=1}^{n+1}(2i)!>{[(n+2!]}^{n+1}\)(1'). Multiplicando miembro a miembro de la desigualdad por \((2n+2)!\):
-\(\prod_{i\eq=1}^{n}(2i)!>{[(n+1)!]}^{n}\cdot (2n+2)!\eq=\prod_{i\eq=1}^{n+1}(2i)!>{[(n+1)!]}^{n}\cdot (2n+2)!\)
-Probemos que \({[(n+1)!]}^{n}\cdot (2n+2)!\geq {[(n+2!]}^{n+1}\)(2):

\(\iff \frac{(2n+2)!}{(n+1)!}\geq {(n+2)}^{n+1}\)(3) Como \(\frac{(2n+2)!}{(n+1)!}\eq=\prod_{i\eq=n+2}^{2n+2} i\geq \prod_{i\eq=n+2}^{2n+2}n+2\eq={(n+2)}^{n+1}\)(esto vale pues \(i\geq n+2\), al ser la productoria desde \(n+2\) a \(2n+2\), y el exponente por haber \(n+1\) números entre \(n+2\) y \(2n+2\)), la desigualdad (3) se verifica inmediatamente. Por la cadena de equivalencias, (2) es verdadera, y por ser verdadera, la transitividad de \(\geq\) y haber primero un mayor estricto, asegura que (1') es verdadero. Espero que ayude. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities