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Tema

[No Resuelto] 25/02/06 - Ej. 2 - 1er P (curso de Verano)

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#1 Frangipani

Este parcial es de los más complicados que vi, y este ejercicio en particular no estoy segura de estarlo haciendo bien. Si puede alguien orientarme un poco se lo agradecería mucho

Sean las sucesiones dadas recursivamente

$$R_{1}=1,\qquad R_{2}=1,\qquad R_{n+1}=\frac{R_{n}.R_{n-1}}{R_{n}+R_{n-1}}$$
$$S_{1}=1,\qquad S_{2}=1,\qquad S_{n+1}=\frac{R_{n}.R_{n-1}...R_{1}}{R_{n}+R_{n-1}+...+R{1}}=\frac{\prod_{i=1}^{n}S{i}}{\sum_{i=1}^{n}S{i}}$$

a)Probar que \(\forall{n} \in{\mathbb{N}}\) es \(R_{n}=\frac{1}{F_{n}}\), donde \(F_{n}\) es la sucesión de Fibonacci:

$$F_{1}=1,\qquad F_{2}=1,\qquad F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$$

b)Conjeture una fórmula similar para \(S_{n}\) y demuestres su validez

Firma

"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

#2 Christian

El a) sale por inducción:
p(n):"Rn=1/fn"
P(1) es verdadera
P(2) es verdadera
si p(n) y p(n-1) es verdadera entonces p(n+1) es verdadera

$${F}_{n+1}=\frac{1}{{R}_{n+1}}=\frac{{R}_{n}+{R}_{n-1}}{{R}_{n}.{R}_{n-1}}=\frac{1}{{R}_{n}}+\frac{1}{{R}_{n-1}}={F}_{n}+{F}_{n-1}$$
#3 Frangipani

ah! yo hice algo similar con el punto a)

$$R_{n+1}=\frac{R_{n}R_{n-1}}{R_{n}+R_{n-1}}=\frac{\frac{1}{F_{n}}.\frac{1}{F_{n-1}}}{\frac{1}{F_{n}}+\frac{1}{F_{n-1}}}=\frac{\frac{1}{F_{n}.F_{n-1}}}{\frac{F_{n}+F_{n-1}}{F_{n}.F_{n-1}}}=\frac{1}{F_{n}+F_{n-1}}=\frac{1}{F_{n+1}}$$

Osea que está bien, entonces? no estaba segura

#4 Christian

Calculo que sí osea usas la hipósis inductiva cuando igualas Rn con 1/Fn y Rn-1 con 1/Fn-1 con eso llegas a la igualdad para Rn+1.
Igual tenés que ver los casos P(1) y P(2) e indicar dónde usas la HI.
Pero está bien, estaba viendo el b) y tenés que llegar ¿Sn en función de Fn? no lo entiendo
Saludos

#5 Frangipani

Christian escribió:

Calculo que sí osea usas la hipósis inductiva cuando igualas Rn con 1/Fn y Rn-1 con 1/Fn-1 con eso llegas a la igualdad para Rn+1.
Igual tenés que ver los casos P(1) y P(2) e indicar dónde usas la HI.
Pero está bien, estaba viendo el b) y tenés que llegar ¿Sn en función de Fn? no lo entiendo
Saludos

La verdad es que yo tampoco jajaja. Cuando desarrollo Sn me queda algo de la pinta:

$$S_{n}=\frac{1}{X_{n}}$$
Donde \(X_{n}\) es otra sucesión que yo tengo que definir

O eso es lo que yo entiendo al menos, pero pasa que no llego a ver cuál sería la sucesión que puedo crear para el denominador

#6 Don Equis

Hola.

Me parece que la cuestión es jugar.

Considerando que \(r_n = f^{-1}_n\), tenemos que:

$$s_n = \frac{r_1 \cdot \cdot \cdot r_n}{r_1+...+r_n} = \frac{\frac{1}{f_1}\cdot \cdot \cdot \frac{1}{f_n}}{\frac{1}{f_1}+...+\frac{1}{f_n}} = \frac{1 / \Pi f }{\frac{\sum_{i=1}^{n}\prod_{k=1,k\neq i}^{n}f_k}{\Pi f}} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\prod_{k=1,k\neq i}^{n}f_k}$$

¿Eso vale?

Es que hallar una fórmula cerrada de la suma es fácil, pero de la multiplicación ni se me ocurre.

Saludos.

#7 FJL

Che una pregunta...tiene sentido esa definición de S?

$$S_{1}=1,\qquad S_{2}=1,\qquad S_{n+1}=\frac{R_{n}.R_{n-1}...R_{1}}{R_{n}+R_{n-1}+...+R{1}}=\frac{\prod_{i=1}^{n}S{i}}{\sum_{i=1}^{n}S{i}}$$
Osea, lo de la derecha de todo no es igual a lo del medio. En el medio estás multiplicando y sumando Rs, en lo de la derecha estás multiplicando y sumando Ss. Cual es la definición? Porque si esa oración es verdad, entonces R = S...

EDIT: Sinó, llego a lo mismo que Don Equis. Por ejemplo, \(\frac{1}{S_6} = F_5 F_4 F_3 F_2 + F_5 F_4 F_3 F_1 + F_5 F_4 F_2 F_1 + F_5 F_3 F_2 F_1 + F_4 F_3 F_2 F_1\). y entonces \(\frac{1}{S_{n+1}} = \sum_{i=1}^{n} \prod_{j=1, i \ne j}^n F_j\)...alguien encontró una mejor?

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.