Probar que
$$\sum_{i=1}^{n}{\frac{i^2-i-1}{i!}=1-\frac{n+1}{n!}}$$
Voy a probrarlo por inducción en n:
tomo n=1
$$\sum_{i=1}^{1}{\frac{1^2+1-1}{1}=-1}$$
$$1-\frac{1+1}{1!}=1-2=-1$$
Ahora quiero ver que \(P_{n}\Rightarrow{P_{n+1}}\)
\(P_{n+1}\) equivale a \(\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{i^2-i-1}{i!}=1-\frac{n+2}{(n+1)!}}\)
Asumo \(P_{n}\) y quiero ver que se cumple \(P_{n+1}\)
\(\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{i^2-i-1}{i!}= \sum_{i=1}^{n}{\frac{i^2-i-1}{i!} + \frac{(n+1)^2-(n+1)-1}{(n+1)!}\) \(\Longrightarrow\) por hipótesis inductiva
$$\sum_{i=1}^{n+1}{\frac{i^2-i-1}{i!}= 1-\frac{n+1}{n!}+\frac{(n+1)^2-n-2}{(n+1)!}=1+\frac{-(n+1)^2+(n+1)^2-n-2}{(n+1)!}=1+\frac{-1(n+2}{(n+1)!}=1-\frac{n+2}{(n+1)!}$$
Que es a lo que quería llegar.
Luego \(P_{n}\) es verdadero \(\forall{n}\in{\mathbb{N}}\)
Firma
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde