Probar que \(2^n|f(n)\quad \forall{n}\in{\mathbb{N}}\) ¿Es \(f\) suryectiva?
Firma
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Sale por inducción
\(2|n.(n+1)\) pues \(n\) es par o \(n+1\)
Entonces \(n.(n+1)=2.q\)
y por HI \({2}^{n+1}|f(n+1)\) y \({2}^{n}|f(n)\)
entonces \(f(n+1)={2}^{n+1}.r\)y \(f(n)=2^{n}.s\)
con \(r,s,q \in \mathbb{Z}\).
Luego
Acá se probó \(\{p(n)\) y \(p(n+1)\} \Rightarrow p(n+2)\)
Y como vale la proposición para \(f(1)\) y \(f(2)\)
Entonces \({2}^{n+2}|f(n+2)\).
Calculo que no es suryectiva ya que \(2|f(n)\) para todo n entonces la función nunca toma valores impares
pero no estoy seguro espero haber servido saludos
[Edit: porfa tratá de usar latex la próxima.. lo pasé, pero como hubo partes que no entendí qué quisiste poner (cosas como si algo iba dentro del exponente o dentro de una fracción) quizás haya algo mal, fijate 🙂]
[Edit:Bel me fije la corrección y retoque algunas cosas.Sea \(a,b \in \mathbb{Z}\) \(a|b \Leftrightarrow b=a.r\) con \(r \in \mathbb{Z}\). Entonces \(a|b \nLeftrightarrow \frac{a}{b}\).
Espero haber ayudado y que esté correcto ahora si hay alguna duda o error avisenme, gracias. Nos vemos, un beso. ]