Tema

[Resuelto] 1er Parcial 16/05/09 Ej 3.

10 respuestas 13643 visitas 2009-05-16

#1 Rapsodius 2009-05-16 19:10

Si si recien salidito del horno, tema 1. Aca les va espero haberlo hecho bien porque si es asi, un punto mas en el parcial xd:

\textrm{Sea $a_n$ la sucesion dada por:}

\textrm{$a_1 = 2$, $a_2 = 4$, $a_{n+2} = (n+1) \cdot a_{n+1} + (n-1) \cdot a_n$}

\textrm{Probar que $\forall n \in \mathbb{N}$, $3|a_n+{(-1)}^{n-1}$}

$\textrm{Llamo $P(n)=3|a_n+{(-1)}^{n-1}$.}$

\textrm{Pruebo $P(1),P(2),P(3)$: $P(1)=3|2+{(-1)}^{0} \rightarrow 3|3$. V}

\textrm{$P(2)=3|4+{(-1)}^{1} \rightarrow 3|3$. V $a_3=8$ $P(3)=3|8+{(-1)}^{2} \rightarrow 3|9$. V}

\textrm{Ahora quiero probar que $P(k) \implies P(n+1)$ con $3 \leq k \leq n$}

Pero antes, reescribo $a_n$ corriendo todo con -2:

a_n=(n-1) \cdot a_{n-1} + (n-3) \cdot a_{n-2}

Para trabajar mas comodo solamente.

\textrm{$P(n+1)=3|a_{n+1}+{(-1)}^{n}$ Reemplazando $a_{n+1}$ con la formula:}

\textrm{$3|n \cdot a_n +(n-2) \cdot a_{n-1}+{(-1)}^{n}$}

Ahora cambio el "divide a" por una congruencia:

n \cdot a_n +(n-2) \cdot a_{n-1}+{(-1)}^{n} \equiv 0 \ (3)

El $-1$ molesta asi que hay q dividir la induccion en 2: $n$ par o $n$ impar. Primero hago el caso par:

n \cdot a_n +(n-2) \cdot a_{n-1} \equiv -1 \equiv 2 \ (3)

Por otro lado, segun la HI:

a_k+{(-1)}^{k-1} \equiv 0 \ (3)

Si tomo k=n y k=n-1 (puedo ya que $k \leq n$) queda, respectivamente:
$a_n+{(-1)}^{n-1} \equiv 0 \ (3)$ y $a_{n-1}+{(-1)}^{n-2} \equiv 0 \ (3)$

Si tomo $n$ par, concluyo que:
$a_n \equiv 1 \ (3)$ y $a_{n-1} \equiv 2 \ (3)$

Meto todo en la licuadora inductiva y queda:

n \cdot a_n +(n-2) \cdot a_{n-1} \equiv n \cdot 1 +(n-2) \cdot 2 \equiv 2 \ (3)

Solo queda probar que

n+2(n-2) \equiv 3n-4 \equiv 2 \ (3) \; \forall n

\begin{tabular}{ c | c | c | c } { $r_3(n)$ & 0 & 1 & 2 } \\ \hline { $r_3(3n-4)$ & 2 & 2 & 2 } \end{tabular}

Entonces,

3n-4 \equiv 2 \ (3) \; \forall n \in \mathbb{N}

Y ahora.... con las n impares:
Vuelvo aca:

n \cdot a_n +(n-2) \cdot a_{n-1}+{(-1)}^{n} \equiv 0 \ (3)

Luego me queda

n \cdot a_n +(n-2) \cdot a_{n-1} \equiv 1 \ (3)

Si tomo $n$ impar, concluyo que:
$a_n \equiv 2 \ (3)$ y $a_{n-1} \equiv 1 \ (3)$

Meto todo en la ecuacion original otra vez:

n \cdot a_n +(n-2) \cdot a_{n-1} \equiv n \cdot 2 +(n-2) \cdot 1 \equiv 1 \ (3)

Solo queda probar que

2n+n-2 \equiv 3n-2 \equiv 1 \ (3) \; \forall n

\begin{tabular}{ c | c | c | c } { $r_3(n)$ & 0 & 1 & 2 } \\ \hline { $r_3(3n-2)$ & 1 & 1 & 1 } \end{tabular}

Entonces,

3n-2 \equiv 1 \ (3) \; \forall n \in \mathbb{N}

Conclusion final:
$3|a_n+{(-1)}^{n-1} \forall n \in \mathbb{N}$

Editado 1 vez.

#2 Don Equis 2009-05-16 19:41

Hola.

De forma similar se me ocurre lo siguiente:
La H.I. es la misma, por lo que discriminamos 3 casos:

n \equiv 0 \;(3)\Rightarrow a_{n+2} = (n+1)a_{n+1} + (n-1) a_n \equiv a_{n+1} - a_n \equiv 1 - 2 \; o\;2-1\;(3)

n \equiv 1 \;(3)\Rightarrow a_{n+2} = (n+1)a_{n+1} + (n-1) a_n \equiv 2a_{n+1} \equiv 2 \; o\;1\;(3)

n \equiv 2 \;(3)\Rightarrow a_{n+2} = (n+1)a_{n+1} + (n-1) a_n \equiv a_n \equiv 2 \; o\;1\;(3)

Y de acá se deduce que $a_{n+2}\equiv a_n \not\equiv a_{n+1}\;(3)$ y $a_n \not\equiv 0\;(3)$.

Saludos.

#3 FJL 2009-05-16 20:02

Sip. Yo lo planteé de una forma parecida al primer post.
Decías que

a_{n+2} = (n+1) \cdot a_{n+1} + (n-1) \cdot a_n + (-1)^{n-1} =

n(a_{n+1} + a_n) + a_{n+1} - a_n + (-1)^{n-1}

De aca yo lo planteé como que $R_{3}(a_{n+2} + (-1)^{n-1}) = 0$, y reemplaze a $a_{n+1}$ y $a_n$ por sus restos en 3, porque al calcular el resto 3 puedo hacer eso. Daba que siempre te quedaban a -1 o +1 de ser divisibles por 3 (porque ya sabias que n(3) = 3n iba a ser resto 0), y ahi caía el -1^{n-1} a arreglarte la vida con ese -1 o +1, y siempre te quedaba resto 0. Igual. Como que me quedé sorprendido de que fuera cierto. Mientras hacía las cuentas casi rezaba para que me diera que el -1 y +1 me quedaban como tenía que ser para que fuera divisible.

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

#4 Mr. Satán 2009-05-16 20:09

Como yo sabía esto: $3|a_n+{(-1)}^{n-1}}$ y lo mismo con a-ene más uno sumé y resté

$(n-1) {(-1)}^{n-1}}$ y 3 divide a cualquier múltiplo de $a_n+{(-1)}^{n-1}}$ y así salía

derecho sin congruencias...

che: no es cogito?

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The End Of This Chapter...

#5 Frangipani 2009-05-16 20:16

Sip, pero quizás quizo decir otra cosa O.o
Cognitivo: Proceso exclusivamente intelectual que precede al aprendizaje, las capacidades cognitivas solo se aprecian en la acción, es decir primero se procesa información y después se analiza, se argumenta, se comprende y se produce nuevos enfoques.El desarrollo de lo cognitivo en el alumno debe ser el centro del proceso de enseñanza por parte del docente

Y yo no lo entiendo XD

Pero sino es Cogito ergo sum (pienso luego/por lo tanto existo)

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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

#6 Rapsodius 2009-05-16 20:27

Increible invente un juego de palabras en latin sin saber nada de ese idioma .P

En realidad si es Cogito pero ahora que lo pienso no suena muy lindo xd

#7 .-Eze-. 2009-05-16 23:20

lo hice igual, pero no lo probe para casos separados, impares y pares..esta mal no?..supuse que valian todos los anteriores que n+4 y lo probe para n+4, y me dio todo bien...me faltaria probar el siguiente?..

#8 Mr. Satán 2009-05-17 00:36

.-Eze-. escribió:

lo hice igual, pero no lo probe para casos separados, impares y pares..esta mal no?..supuse que valian todos los anteriores que n+4 y lo probe para n+4, y me dio todo bien...me faltaria probar el siguiente?..

n+4? creo que probaste casos de más...

#9 Rapsodius 2009-05-17 02:17

Cognito ergo sum: Conozco luego existo (?) no queda mal de todas formas

#10 Alien Duce 2009-07-29 18:16

Yo tengo el otro tema, que dice que la sucesión viene dada por:

a_{1}=1

a_{n+2}=na_{n+1}+(n+1)a_{n}

Y probar que $3/a_{n}+(-1)^n$

En el parcial no lo hice, ahora que estoy preparando el recuperatorio me salió de esta manera:

Para probarlo usando inducción, lo que necesitamos demostrar es que, suponiendo P(n) verdadera, debe serlo P(n+1), o sea que necesitamos demostrar que se cumple:

a_{n+1}+(-1)^{n+1}\equiv0 (3)

Bien, yo lo que hice fue demostrar que $a_{n+1}=3n!-a_{n}$

Entonces, para ver que $a_{n+1}+(-1)^{n+1}\equiv0 (3)$ resuelvo así:

a_{n+1}+(-1)^{n+1}=3n!-a_{n}-(-1)^{n}=3n!-\left(a_{n}+(-1)^n \right)\equiv0 (3)

(Usando la HI $a_{n}+(-1)^n\equiv0 (3)$ en el paso final)

Me pareció razonable lo que hice, pero quizás me equivoque por eso se los dejo.

#11 usuario 2009-07-31 15:23

Hola gente, alguno me podra explicar por que se dice $\textrm{ $3 \leq k \leq n$}$ y se hacen p(1), P(2) y P(3) a mano ?