Ya que subieron el de otro tema yo subo el del mio =P
Sea \(A_{n}\) la sucesión dada por:
\(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_{n+2}=(n)\cdot a_{n+1}+(n+1)\cdot a_n\)
Probar que \(\forall n \in \mathbb{N}\quad 3|a_n+{(-1)}^n\)
\(3|a_n+{(-1)}^n\Leftrightarrow a_n+{(-1)}^n=3k\Leftrightarrow a_n=3k-{(-1)}^n\)
Es decir entonces, quiero ver que \(a_n=3k-{(-1)}^n\)
Voy a mostrarlo con inducción en n
tomo n=1
$$a_1=1$$
$$1+(-1)^1=0$$
$$3|0$$
tomo n=2
$$a_2=2$$
$$2+(-1)^2=3$$
$$3|3$$
Ahora quiero ver que \(P_{(1,...,n)}\Rightarrow P{(n+1)}\)
Quiero ver que \(3|a_{n+1}+(-1)^{n+1}\), es decir, qvq \(a_{n+1}+(-1)^{n+1}=3k\quad\forall n\in \mathbb{N}\)
\(=[(2n-1)]3k\) donde \((2n-1)\in\mathbb{N}\)
Luego \(a_{n+1}+(-1)^{n+1}=3q\) para algun q perteneciente a los enteros
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde