#1 pola88 2009-07-30 14:46 Hola, como andan? queria ver si me podian ayudar con este ejercicio de Induccion:
Si n \(\in \mathbb{N}\), demostrar:
$$\sum_{k=1}^{n} k{2}^{n-k}= {2}^{n+1}-n-2$$
Yo lo que hice cuando empiezo induccion es lo siguiente:
$$\sum_{k=1}^{n+1}k{2}^{n+1-k}= {2}^{n+2}-(n+1)-2$$
Hice un cambio de variable con j=1-k, entonces me quedaria lo siguiente:
$$\sum_{j=0}^{n} (1-j) {2}^{n+j} = {2}^{n+2}-(n+1)-2$$
Distribullo adentro de la suma y me quedaria algo asi:
$$\sum_{j=0}^{n} {2}^{n+j} - {2}^{n+j} = {2}^{n+2}-(n+1)-2$$
dps de ahi distribullo la suma y puedo usar la HP, pasa que me queda la siguiente suma y no se como sacarla:
$$\sum_{j=0}^{n} {2}^{n+j}$$
Si me podrian decir como seguir, les agradeceria🙂
Muchas Gracias.
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Profesor Frinks: " Esto es un Cuadrado Ordinario." \(\Box\)Gorgory: " Oye Oye, Mas Despacio Cerebrito! "
#2 Quimey 2009-07-30 15:04 Es una geometrica sacando como factor comun \(2^n\)
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Quimey
#3 hookdump 2009-10-29 21:31 $$P(n+1): \sum_{k=1}^{n+1}{k\cdot{}2^{n+1-k}}=2^{n+2}-n-1-2$$
Lo que hice yo es medio feo y desprolijo pero (en este caso) funca. Simplemente parti la sumatoria, separandole su ultimo termino:
$$(n+1)\cdot{}2^{(n+1)-(n+1)}+\sum_{k=1}^{n}{k\cdot{}2^{n-k}\cdot{}2}=2^{n+2}-n-3$$
Ahora saco factor comun 2 de esa sumatoria...
$$\sum_{k=1}^{n}{k\cdot{}2^{n-k}\cdot{}2} = 2 \cdot{} (\sum_{k=1}^{n}{k\cdot{}2^{n-k}})$$
...y uso la hipotesis inductiva:
$$\sum_{k=1}^{n}{k\cdot{}2^{n-k}} = 2^{n+1}-n-2$$
Me queda:
$$(n+1)2^0+2(2^{n+1}-n-2)=2^{n+2}-n-3\newline 2^{n+2}-2n-4+n+1=2^{n+2}-n-3\newline 0=0$$
Asumiendo \(P(n)\) llegue a que vale \(P(n+1)\).
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$$\displaystyle\lim_{dom \to lun} = paja$$
http://hookdump.com