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[Resuelto] 27/07/01 - Ej. 1 - 1er P - T2 - 2do rec

0 respuestas 4624 visitas 2009-08-04

#1 FJL 2009-08-04 14:36

\textrm{Sea }{\{a_n\}}_{n \in \mathbb{N}}\text{ la sucesi\'on definida por}

\begin{cases} a_1 = 4 & \\ a_{n+1} = 4^{n+1}a_n & \mbox{si }n \ge 1 \end{cases}

\textrm{Conjeturar una f\'ormula para el t\'ermino general $a_n$ y probarla por inducci\'on.}

Este es bastante fácil.

Calculamos primero algunos términos de la sucesión para darnos cuenta que está pasando.

$$a_2 = 4^2a_1 =4^3$$

$$a_3 = 4^3a_2 = 4^6$$

a_4 = 4^4a_3 = 4^{10}

a_5 = 4^5a_4 = 4^{15}

a_6 = 4^6a_5 = 4^{21}

Lo que está pasando es que en el \(a_n\), le estoy sumando \(n\) al exponente anterior. Si empezamos con 1, vamos a tener 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, 1+2+3+4+5+6, etc.
Y como dice la leyenda que dijo Gauss a una edad temprana, "la suma de los primeros n numeros es n(n+1)/2". Groso el flaco.

Entonces conjeturamos que \(a_n = 4^{\frac{n(n+1)}{2}}\). Aclaración medio obvia quizás - lo de arriba va a ser un natural para todo n natural porque o 2 divide a n, o 2 divide a n+1.

Bueno, chácharas listas, a probar se ha dicho. Para la prueba de inducción, asumimos que \(a_n = 4^{\frac{n(n+1)}{2}}\), y queremos probar que \(a_{n+1} = 4^{\frac{(n+1)(n+2)}{2}}\).
Es fácil ver el caso base, \(a_2 = 4^{\frac{2(3)}{2}} = 4^3\). Con esto dicho, usamos inducción global en n:

\(a_{n+1} = 4^{n+1}a_n \overset{\underset{\mathrm{H.I.}}{}}{=}\) \(4^{n+1}4^{\frac{n(n+1)}{2}} =\)

4^{n+1+\frac{n(n+1)}{2}} = 4^{(n+1)(1 + \frac{n}{2})} = 4^{(n+1)\frac{2(1 + \frac{n}{2})}{2}} = 4^{\frac{(n+1)(n + 2)}{2}} \Box

Y listo 🙂
EDIT: Corregí el LaTeX.

Firma

Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.