Tema
Hola, a ver si pueden darme una mano con este...
Soy muy molesta 😳 Perdon!
Sea \((a_n)n\in{\mathbb{N}}\) la sucesión de números reales definida por
Para ahorrarles tiempo el termino general es \(a_n=\frac{1}{2^n}\)
Desde ya, gracias.
Ya que escribiste el término general... directo a la inducción.
Observá que para \(n\eq=1\), vale la fórmula que conjeturaste, porque \(\frac{1}{{2}^{1}}\eq=\frac{1}{2}\eq={a}_{1}\). Vayamos al paso inductivo. Vamos tener como hipótesis inductiva que la fórmula conjeturada vale para \(i\in \mathbb{N},\;1<i\leq n\)(es decir, inducción completa). Luego:
\({a}_{n+1}\eq=\frac{1}{2}(1-\sum_{i\eq=1}^{n}{a}_{i})\eq=\frac{1}{2}(1-\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{1}{{2}^{i}})\eq=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{{2}^{n}}-1)\eq=\frac{1}{{2}^{n+1}}\), que era lo que querías probar. Vale el paso inductivo, y para n=1, luego vale para todo n.
Espero haber sido claro.
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Hola exequiel, no entiendo como sacas la sumatoria, digamos porque reemplazas la sumatoria por \(\frac{-1}{2^n}+1\)
Igualmente gracias por responder
Saludos!
Fijate que \(\sum_{i\eq=1}^{n}{a}^{i}\eq=\frac{{a}^{n+1}-1}{a-1}-1\). Fijate; cambiá el a por \(\frac{1}{2}\) y te queda \(\frac{{(\frac{1}{2})}^{n+1}-1}{\frac{1}{2}-1}-1\eq=\frac{{(\frac{1}{2})}^{n+1}-1}{-\frac{1}{2}}-1\eq=-2({(\frac{1}{2})}^{n+1}-1)-1\eq=1-\frac{1}{{2}^{n}}\). Fijate si se entiende ahora. Puede que te hayas confundido con \(\sum_{i\eq=1}^{n}\frac{1}{{2}^{i}}\), y hayas calculado \(\sum_{i\eq=0}^{n}\frac{1}{{2}^{i}}\); es decir, te faltó restar el 1, porque empezás en el término 1, no en el 0. Creo que eso es lo que no te cierra. Cualquier cosa, avisá.
Ahora si!!! Gracias.
asdasd joya, gracias! me salio ^^
mañana sale 1er parcial de Alge Verano, con fritas! 🙂 jajaj