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A ver este otro...
Sea \(F: \mathbb{N}\longrightarrow{\mathbb{Z}}\) la función definida recursivamente por \(F(1)=6, \; F(2)=4, \; F(n+2)=n(n+1)F(n+1)+4F(n)-F(n+1)F(n)\) para todo \(n\in{\mathbb{N}}\)
Probar que \(2^n|F(n)\) para \(\foralln\in{\mathbb{N}}\)¿Es F suryectiva?
Saludos!
Aca va lo que pense
Para resolverlo voy a usar induccion global. Nuestra hipotesis es que \(2^k|F(k)\) para todo \(k\leq{n+1}\).\(P(1), P(2)\) son verdaderas. Tenemos que probar que \(2^{n+2}|F(n+2)\) es decir que \(2^{n+2}|{n(n+1)F(n+1)+4F(n)-F(n+1)F(n)}\).Por nuestra hipotesis sabemos que \(F(n+1)=2^{n+1}k ;\ F(n)=2^nq\) con k y q en los enteros.
Entonces\(4F(n)-F(n+1)F(n)=2^2 2^nq - 2^{n+1}k2^nq=2^{n+2} * (q-2^{n-1}kq)\). Con esto probamos que \(2^{n+2}|4F(n)-F(n+1)F(n)\). Por lo tanto solo nos queda probar que \(2^{n+2}|{n(n+1)F(n+1)}\) como \(n(n+1)\)son enteros consecutivos, uno de ellos debe ser par, por lo tanto \(2|n(n+1)\) entoces \(n(n+1)F(n+1)}=2*j*2^{n+1}k= 2^{n+2}(jk)\) Entonces \(2^{n+2}|{n(n+1)F(n+1)+4F(n)-F(n+1)F(n)}\). Asi probamos que \(2^n|F(n)\) para todo n, entonces para probar la suryectividad es suficiente con tomar algun primo distinto de 2. Por ejemplo 3, Si existe algun n, tal que \(F(n)=3\) tendriamos que \(2|3\) lo cual es absurdo. Por lo tanto la funcion no es suryectiva
No se si falta aclarar algo pero creo que la idea se entiende. Suerte y saludos.
Buenisima la explicación!
Gracias