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Hola, ayuda con este ejercicio
Sea la sucesion definida por \(a_1=1\) y \(a_{n+1}=(\sqrt{a_n}-(n+1))^2\; \forall{n}\in{\mathbb{N}}\)
Probar que para todo \(n\in{\mathbb{N}}\) se tiene que \(a_{2n-1}=a_{2n}=n^2\)
Yo note que para las n pares va dando \(n^2\) y para las impares 1. Pero no se como hacer porque \(2n-1\) es impar y \(2n\) par y supuestamente las dos son igual a \(n^2\).
No se que pase por alto.
Espero respuestas
Saludos!
Tu hipotesis inductiva va a ser \(P(n):{a_{2n-1}=a_{2n}=n^2}\), \(P(1)\) es verdadero, supongamos que \(P(n):{a_{2n-1}=a_{2n}=n^2}\) es verdadero, entonces tenemos que probar \(P(n+1):{a_{2n+1}=a_{2n+2}=(n+1)^2\)
Por la definicion de la sucesion, \(a_{2n+1}=(\sqrt{a_{2n}} - (2n+1))^2\) por hipotesis \(a_{2n}=n^2\) entonces \(a_{2n+1}=(\sqrt{n^2} - (2n+1))^2 = (-n-1)^2=(n+1)^2\) Probamos la primera parte de la hipotesis, ahora pasamos a la segunda.
\(a_{2n+2}=(n+1)^2\) por la definicion tenemos \(a_{2n+2}=(\sqrt{a_{2n+1}} - (2n+2))^2\) pero ya probamos que\(a_{2n+1}=(n+1)^2\) entonces,\(a_{2n+2}=(\sqrt{(n+1)^2} - (2n+2))^2 = (n+1-2n-2)^2 = (-n-1)^2 = (n+1)^2\)
Editado 1 vez.
Se entendió perfecto.
Gracias
juanma escribió:
... pero ya probamos que \(a_{2n+1}=(n+1)\) entonces, (...)
Ojo! falta un cuadrado, lo que probaste es \(a_{2n+1}={(n+1)}^{2}\)
Inmediatamente en el paso siguiente lo escribiste bien, pero igual lo comento por si viene alguno medio perdido y eso lo confunde! jejej
Si podés editalo y yo borro mi mensaje y queda todo lindo y prolijo =P
Saludos!! Y muchas gracias por la resolución, me fue util! 🙂