Aca les dejo un ejercicio de parcial.
$$\textrm{Hallar todos los a}\in\mathbb{Z}\textrm{ tales que:}$$
$$\left( 30a + 2 : 6{a}^{2} - 2a + 1\right)\neq1$$
Yo llegue a sacar que MCD = 5, pero de ahi a encontrar los a...
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Tema
[Resuelto]Ejercicio de parcial:
Buenas, antes de tirar la solucion del ejercicio, unas cositas de reglas del foro y eso...
En el titulo en lo posible, trata de poner [Resuelto] o [A Resolver] o algo, asi se sabe de que se trata el post.. y lo otro es el TeX, ahora te mando un mensaje con como usarlo mas o menos y despues edita el post.. porq si te edito yo no vas a terminar sabiendo como se usa, y en la carrera (no se q seguis, pero en todas) vamos a tener que usar tex mucho =)
Buen, desp de esa intro medio policia, te dejo aca la resolucion =D
Me base en que tenias razon diciendo que el MCD= 5, lo cual es verdad(sino no hubiera llegadoa nada xD )
Asi que me salteo esa parte del ejercicio, la de llegar a MCD=5..
Entonces vos tenes:
$$(3a + 2: 6{a}^{2} -2a + 1) = 5$$
Que quiere decir que 5 es un divisor comun:
$$5 | 3a + 2$$
$$5 | 6{a}^{2} -2a + 1$$
La regla mas importante de todas, es que cualquier combinacion lineal de esos dos numeros es divisible por 5, en particular:
$$5 | 1 \cdot(6{a}^{2} -2a + 1) - 2a\cdot (3a + 2) =$$
$$= 5 | -6a + 1$$
A esto le sumo lo primero que tenia, mi idea aca no es eliminar las a, sino dejarlo expresado mas lindo. Si elimino las a con alguna combinaicon lineal voy a tener que 5|0 o 5|5, lo cual tiene sentido, pero no sirve:
$$= 5 | (-6a + 1) + \cdot(3a + 2)$$
$$= 5 | -3a + 3 = 5| 3a - 3$$
Y ya esta, de ahi sacas que 5 tiene que dividir a 3a -3, entonces el ultimo digito de 3a tiene q ser 3 o 8, y estoy seguro que eso se hace por congruencia...la cual no se y no entra de todas formas en el parcial
Buen, espero que te haya servido de todas formas
suerte !
Una aclaración, eso creo que se puede resolver por congruencia, pero seguro que se puede demostrar por inducción, o sea si fuera un parcial yo lo demostraría la verdad..
Podes resolverlo continuando de ahi donde
$$5|3a-3 \textrm{ entonces}$$
$$5|3(a-1) \textrm{ (saque factor comun) entonces como}$$
$$5\not|\;3 \textrm{ entonces}$$
$$5|a-1 \textrm{ y esto significa que}$$
$$a-1=5k \textrm{ (k entero)}$$
$$a=5k+1 \textrm{ (k entero)}$$
y estos son los a que satisfacen lo pedido del enunciado, fijate que si pones otros numeros para a, te van a dar coprimos los terminos. Acepto sugerencias
por favor tratá de usar TeX siempre
Listo ya lo re-re-edite, muchas gracias.
lgmamani escribió:
Podes resolverlo continuando de ahi donde
5|3a-3 entonces
5|3(a-1) (saque factor comun) entonces como
5 no divide a 3 entonces
5|a-1 y esto significa que
a-1=5k (k entero)
a=5k+1 (k entero)y estos son los a que satisfacen lo pedido del enunciado, fijate que si pones otros numeros para a, te van a dar coprimos los terminos. Acepto sugerencias
yo lo hice igual, supongo que con eso está bien. Te queda una ecuación diofántica, pero resolverla, eso entra en el 2do parcial.
Eh, a mi no me quedó que el MCD es 5 :S sino que es 1 o 29, y hallé los a tales que el mcd es 29 y me quedó que \(a \equiv 27 (29)\). Aparte si el MCD fuera 5 debería dividir a 30a+2, pero como \(5 | 30a\) entonces debería ocurrir que 5 divida a 2, lo que es absurdo.
Fijense si llegan a eso, porque sino no sé qué es lo que no estoy viendo..