Ok, me rehuso a ir a estudiar, asi que hago un bien a la comunidad y resuelvo algun ejercicio al azar, despues quiza agrego mas, este nos lo dejaron a los del turno noche:
$$\bullet \textrm{Probar que } \sum_{k=0}^{n-1} (n - k) \cdot {2}^{k} = 2 \cdot ({2}^{n} -1 ) -n$$
Primero probamos el caso base blablabla, ya todos sabemos hacer eso, vamos a lo inductivo:
Asumo que el enunciado es verdad, entonces quiero ver que:
$$\sum_{k=0}^{n} (n +1 - k) \cdot {2}^{k} = 2 \cdot ({2}^{n+1} -1 ) - (n +1)$$
Como la sumatoria son solo eso, sumas, valen las propiedades de la suma, asociatividad, distribucion, etc..
$$\sum_{k=0}^{n} (n +1 - k) \cdot {2}^{k} = \sum_{k=0}^{n} (n - k) \cdot {2}^{k} + 1\cdot {2}^{k} =$$
$$= \sum_{k=0}^{n} (n - k) \cdot {2}^{k} + \sum_{k=0}^{n} {2}^{k} =$$
$$= \sum_{k=0}^{n-1} (n - k) \cdot {2}^{k} + (n-n) \cdot {2}^{n} +\sum_{k=0}^{n} {2}^{k}$$
En el primer termino, aplico la Hipotesis Inductiva, el segundo termino = 0, y en el tercero aplico la formula cerrada conocida:
$$( 2 \cdot ({2}^{n} -1 ) -n ) + 0 + ( {2}^{n+1} -1 ) = {2}^{n+1} -2 -n + {2}^{n+1} -1 =$$
$$2 \cdot ({2}^{n+1} -1 ) - (n +1)$$
\(\Box\)
Bueno, escribir esto me llevo mas tiempo de lo que pensaba =S , si tengo mas tiempo despues, agrego otros..
