Ejercicio propuesto para final

Bueno, este ejercicio es fácil, y parece algo teórico. Espero que contribuya para los ejercicios de final(nuevamente lo extraje de unas notas de Carlos Sanchez)
Si \(p\) es un número primo distinto de 2 y de 5, probar que existen infinitos múltiplos de \(p\) cuyo desarrollo decimal es de la forma \(99...999\).
Notemos que estos números son de la forma \(n\eq={10}^{n}-1\). Luego, quiero probar que existen infinitos n tales que \({10}^{n}-1\equiv 0(p)\). Puesto que \((10:p)\eq=1\), pues \(p\) no es 2 ni 5, vale el teorema de Fermat \({10}^{p-1}\equiv 1(p)\). Luego, como existen infinitos múltiplos de \(p-1\), si se toma \(n\eq=(p-1)k,\;k\in \mathbb{N}\), se verifica \({10}^{n}-1\eq= {({10}^{p-1})}^{k}-1\equiv 1-1\eq=0(p)\). Luego existen infinitos múltiplos de p, como los pedidos.
Después agrego más de este tipo de ejercicios( o los que deseen, agreguen ejercicios propuestos para final, o simplemente ejercicios)