Sea la sucesion de enteros definida por
$$a_0=5, a_1=3, a_n=a_{n-1}+ (a_{n-2})^2 (n\geq2)$$
probar que para todo \(n\geq0, (a_n:a_{n+1})=1\)
voy a probarlo haciendo induccion global
veamos que el primer caso se cumple, con \(n=0\) nos queda \((5:3)=1\)
supongamos que vale para todo \(k\leq n-1\) es decir \((a_k:a_{k+1})=1\)y probemos que vale para \(n\)
si \(k=n\) ,nos queda\((a_n:a_{n+1})\), reemplazando \(a_{n+1}\)a partir de la definicion de la sucesion nos queda\((a_n:a_{n+1})=(a_n:a_n+(a_{n-1})^2)\) podemos restarle \(a_n\) al termino de la derecha por propiedades del mcd y nos queda\((a_n:(a_{n-1})^2)\) pero con \(k={n-1}\) tenemos por hipotesis que\((a_{n-1}:a_n)=1\) entonces podemos concluir que\((a_n:(a_{n-1})^2)=1\) (esto se concluye a partir de la propiedad siguiente, dados \(a,b,c\in\mathbb{Z}\)si \((a:c)=1\)entonces \((a:bc)=(a:b)\) en este ejemplo \(b=c=a_{n-1}\))
por favor avisen si les parece que esta bien.
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