[Resuelto] 13/8/04 - Ej 2 - Final

Sisis, se que soy un colgado.. pero me parece un ejercicio de congruencia que puede llegar a aclararle dudas a mas de uno (aparte de a mi q no se que hacer =( )

Aca pongo lo que pensé, Nico
Fijate que \(490\eq={7}^{2}\cdot 5\cdot 2\). Luego, como \(35\eq=7\cdot 5\), tengo que pedir que 2 no divida a \({42}^{n+1}+7n\), lo que se consigue pidiendo n impar, debido a que 42 es par, luego \({42}^{n+1}\) es par. Es decir, \(n\equiv 1(2)\). Tengo que pedir que 7 divida a \({42}^{n+1}+7n\), lo cual vale para todo n, pues \(42\eq=6\cdot 7\). Se concluye que \({7}^{2}|{42}^{n+1},\;\forall n\), pues \(n+1\geq 2\). Es decir, solo tengo que pedir \({7}^{2}\) no divida a \(7n\), que se consigue pidiendo (7:n)=1. Ahora, el caso más interesante: debo pedir que 5 divida a \({42}^{n+1}+7n\). Estudio módulo 5:
\({42}^{n+1}+7n\equiv {2}^{n+1}+2n\equiv 0(5)\Letrightarrow {2}^{n}+n\equiv 0(5)\).
Observa que para que \({2}^{n}+n\) sea divisible por 5, debe terminar en 0 o 5. Puesto que las potencias de 2 repiten cíclicamente los dígitos 2-4-6-8, las únicas maneras de sumar 0 o 5 cómo dígito final es con las sumas \(2+3,2+8,4+1,4+6,6+9,6+4,8+7,8+2\). De estas, solo tienen sentido \(2+3,4+6,6+9,8+2\)(por cuestiones de paridad, verificalo). Ahora, observá que de n mirás el último dígito, vale decir \(n\equiv a(10)\), y mirás el exponente de 2, o sea, \(n\equiv b(4)\). Luego, realmente estás mirando \(n\equiv c(20)\). Puesto que tenés poco que evaluar con el análisis realizado, se concluye rápidamente que las únicas soluciones módulo 20 son \(n\equiv 4(20),\;n\equiv 6(20),\;n\equiv 7(20),\;n\equiv 13(20)\). Aún más, concluímos que n debía ser impar, luego solo tienen sentido \(n\equiv 7(20),\;n\equiv 13(20)\).
Luego, las soluciones posibles se consiguen pidiendo \((n:7)=1\) y \(n\equiv 7(20)\;o\;n\equiv 13(20)\)(ahora es solo T.C.Resto).
Espero haberte ayudado. Saludos.

Wow, llevaba mas analisis del que esperaba, y es para pensarlo fuera de lo normal.. Puedo sonar suicida, pero estan buenos estos problemas! Aparecen cosas que ni te esperas como este:

Ya lo resolvi (creo), pero a lo que voy es q esta bueno para pensarlos (por lo menos pensarlo fuera del final, sin los nervios ni limite de tiempo y esas cosas)

Gracias Marce!

No era eso de lo que se quejaban en el segundo parcial...
🙂

Jajajaja, touché..