2do Parcial 05/07/2008

Hola, este ejercicio lo hice pero me pusieron mal y todavía no entiendo porque.
Quisiera que alguien ponga la resolución, asi no vuelvo a cometer el mismo error...

Sea \(a\in{Z}\) tal que \((a^{206}-51 : 170)=17\). Calcular \((a^{27}-136 : 2^4*5*17^2)\)

Bueno espero respuestas
Gracias

Fijate que \(170\eq=17\cdot 2\cdot 5\). Luego, además \(51\eq=17\cdot 3\). Entonces, \(17|51\land 17|{a}^{206}-51\Rightarrow 17|{a}^{206}\Leftrightarrow 17|a\). Además, notá que \({a}^{206}-51\) no es divisible por 2(sino, el mcd sería otro). Luego \({a}^{206}-51\) es impar, y esto solo se consigue si a es par, vale decir, \(2|a\). Con el 5 la situación no es tan directa; hay que estudiar módulo 5:
\({a}^{206}-51\equiv {a}^{206}-1(5)\). Consideramos los casos (a:5)=1 y la negación del mismo, es decir, 5|a.

\((a:5)\eq=1\Rightarrow {a}^{206}-1\eq= {a}^{204}{a}^{2}-1\eq={({a}^{4})}^{51}{a}^{2}-1\equiv {a}^{2}-1(5)\). Estudiando esta última condición, extraes que \(a\equiv 2(5)\lor a\equiv 3(5)\), para satisfacer las condiciones del problema. Luego, \(a\equiv 0(5)\lor a\equiv2(5)\lor a\equiv3(5)\) son todas posibilidades. Pasamos al otro lado del problema. Notá que \(136\eq={2}^{3}\cdot 17\). Luego, además sabés que \(17|a\Rightarrow {17}^{27}|{a}^{27}\). Concluís, luego, que la máxima potencia de 17 que puede dividir a \({a}^{27}-136\) es 17, por ser la máxima que divide a 136. Sabés que \({2}^{3}|136\) y también que \(2|a\Rightarrow {2}^{27}|{a}^{27}\). Concluís que 2³ es la máxima potencia que divide a \({a}^{27}-136\), por 2³ la máxima potencia que divide a 136. Con el 5 tenés que estudiar módulo 5, cada caso: En cada caso, 5 no dividió a \({a}^{27}-136\). Luego no aparece en el mcd. Se concluye que el mcd es: \(({a}^{27}-1:{2}^{4}\cdot 5\cdot {17}^{2})\eq={2}^{3}17\eq=136\) Espero haberte ayudado. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Jajajaajjaja, disculpen, pero tenía que ponerlo, ya me va pasando varias veces, jaj, estoy por poner algo, y cuando pongo "vista previa" ya había contestado Marce, es buenísimo, jaja
Sos un groso Marce 😆

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$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

Cuando te pase eso preguntale al que te lo corrigio y no creo que tenga problemas en explicarte cual es el error y como solucionarlo. Por lo menos eso haria yo

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Quimey

Alguien me explicaría el por qué de esto?
\((a:5)\eq=1\Rightarrow {a}^{206}-1\eq= {a}^{204}{a}^{2}-1\eq={({a}^{4})}^{51}{a}^{2}-1\equiv {a}^{2}-1(5)\). Estudiando esta última condición, extraes que \(a\equiv 2(5)\lor a\equiv 3(5)\), para satisfacer las condiciones del problema.

Si no me equivoco, llega a esa condición usando Pequeño Fermat. Pero luego, como llego a los valores 2 o 3 ?

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$$\displaystyle\lim_{dom \to lun} = paja$$

http://hookdump.com

Es que busco los casos tales que \({a}^{206}-51\) no sea divisible por \(5\), para que ese máximo común divisor sea 17. De ahi los valores.

exequiel131719 escribió:

Notá que \(136\eq={2}^{3}\cdot 17\). Luego, además sabés que \(17|a\Rightarrow {17}^{27}|{a}^{27}\). Concluís, luego, que la máxima potencia de 17 que puede dividir a \({a}^{27}-136\) es 17, por ser la máxima que divide a 136.
Sabés que \({2}^{3}|136\) y también que \(2|a\Rightarrow {2}^{27}|{a}^{27}\). Concluís que 2³ es la máxima potencia que divide a \({a}^{27}-136\), por 2³ la máxima potencia que divide a 136. [/tex]

Estas 2 cosas no logro verlas claramente.
Si tomaras 272, que seria (17^2) * (2^3), en ves de 136 en el problema.
¿Esto me indicaria que la maxima potencia de 17 en el MCD va a ser 17^2?
¿Podrias explicarme un poco esta propiedad? No logro entenderla ni en el caso del 17 ni en el caso de 2.

Lo demas lo entendi todo perfecto, aunque lo resolvi un poco diferente (llegando a un absurdo para demostrar que 5 no esta en la factorizacion del MCD).

Saludos!

Cuando vos tenes un primo p y dos numeros a y b tales que las maximas potencias de p que los dividen son distintas (ponele que son \(p^e\) y \(p^f\)) entonces la maxima potencia de p que divide a la suma (o a la resta) es el minimo entre \(p^e\) y \(p^f\).
Aca va la demostración (pensalo antes de mirar 😆 )
Escribimos \(a=p^e q\) y \(b=p^f r\) con (p,r)=(p,q)=1 (esto es porque eran las maximas potencias que dividian y porque p es primo (pensar un contraejemplo si p no es primo))
Sin perder generalidad supongamos que e<f, entonces

El resultado se sigue si pudieramos demostrar que \((p,q+p^{f-e}r)=1\) pero ahora usamos que \(e\neq f\) y que (q,p)=1 y listo (pensar para que uso que \(e\neq f\)).

Muchas gracias.
Ya entiendo, aunque costo comprender la demostracion.

Saludos!