Hola gente como estan? bueno voy a hacerla corta, la cosa es asi en el enunciado me dice que\(Sean \; a,b \in \mathbb{Z} ,\;(a:b)=1 \; y \; buscar \;todos \; los \;(a^2+4b^2:2a^2+5b^2)\)
y yo hice esto
\((a^2+4b^2:2a^2+5b^2)=d\)
pero \((a:b)=1 \Rightarrow d\nmid b\)
Por lo tanto \(d\mid 4 \Rightarrow d=2 \;o \;d =1\)
despues veo la otra ecuacion
$$Si\;d\mid a \wedge d\mid 2a^2+5b^2 \Rightarrow d\mid 5b^2 \Rightarrow d\mid 5 \; o \; d\mid b^2$$
como ya vimos q \(d\mid a \Rightarrow d\nmid b \Rightarrow d\mid 5 \Rightarrow d = 5 \; o \; d=1\)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Por otro lado analizo si d no es primo
si d no es primo entonces \(d\mid -3a^2 \wedge d\mid 3b^2\)
y es mas facil si lo veo asi \(d\mid (-3a^2:3b^2) \Rightarrow d \mid 3(a^2:b^2) \Rightarrow d\mid 3 (a:b)^2\)
Y como \((a:b)=1 \Rightarrow d\mid 3\)
los posibles valores de D son\(d= 1,2,3,5\)
por otro lado \(Si \; d\mid b^2 \wedge d\mid 4b^2+a^2 \Rightarrow d\mid a^2\) por lo tanto \(d\nmid b\)
esta bien hecho ese razonamiento final?... si responden termino en ejercicio y lo dejo como resuelto
Hay un par de cosas que están mal escritas, y el d no tiene por qué ser primo... De hecho, por lo que hiciste, si un primo divide a d, entonces ese primo es 2, así que d es una potencia de 2. Habría que ver qué potencias. El penúltimo renglón del razonamiento (si d|b... a|b, etc.) no se entiende muy bien. Parece que vas por buen camino, pero tenés que poner más detalles.
Hola. Si alguien pudiera terminar el ejercicio o explicarlo mejor, ya que no se comprende muy bien.
Tengo una duda porque dice que los posibles d=1,2,3,4,5.. ?
A mi entender los unicos d=1 o 3. aparte no entiendo bien que es lo que te pide el ejercicio.
si alguien puediese responderme, seria de gran ayuda, 🙂.
