Tema
tengo un ejercicio que me dice probar que \(({a}^{180} + {a}^{2} + 18 : {19}^{2}) = 1\)
Con demostrar que 19 no divide al miembro izquierdo es suficiente no? o tambien tengo que probar
que \({19}^{2}\) no divide? Porque eso precisamente es lo que no me sale.
Siempre que tengo algo como \(a + b \equiv c ({p}^{n})\) tengo que andar a mil por horas con la calculadora hasta que encuentro un resto o un inverso multiplicativo.. dependiendo del ejercicio
Gracias de antemano. Saludos
Claro, si 19 no lo divide, ninguna potencia de 19 lo va a dividir.
Para encontrar un inverso multiplicativo podes usar el algoritmo de euclides, eso deberia ser rapido.
http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse
Quimey
perdón, podés postear cómo calculaste que 19 no divide al término de la izquierda?
hay una parte que no sé cómo seguir : P
Podes usar el teorema de fermat, si escribis tu argumento te puedo ayudar en la parte que te hayas trabado
Sale más o menos así:
Querés probar que \(19\nmid a^{180} + a^{2} + 18\) para ningún \(a \in \mathbb{Z}\)
Para \(a\) tenés sólamente dos posibilidades: \(19|a\) o \(19\nmid a\)
Si \(19|a\) entonces \(19|a^{180}\) y \(19| a^{2}\), pero como \(19\nmid18\) entonces \(19\nmid a^{180} + a^{2} + 18\)
Si \(19\nmid a\) entonces por el PTF sabés que \(a^{18}\equiv 1 (19)\) lo que implica que \(a^{180}\equiv 1 (19)\)
Luego \(a^{180} + a^{2} + 18 \equiv 1 + a^{2} + 18 (19) = 19 + a^{2}\), pero sabiendo que \(19\nmid a\) también sabés que \(19\nmid a^{2}\), lo que implica que \(19\nmid 19 + a^{2}\), y probaste lo que querías para cualquier entero.
Entonces listo? Como \(19\) no divide, entonces puedo concluir sin mas que \({19}^{2}\) tampoco divide?
Me dejo muchas dudas que fuera tan corto. Pero bueno supongo que cada tanto pasa 😄
La resolución de anarky es correcta BIEN!! :🙂