Dejo un ejercicio que no supe encarar.
Sean \(a, b \in Z\) no nulos. Mostrar que si \((a:b)=3\) entonces
$$({5}^{2}{a}^{3}b:{a}^{4} + {b}^{4}) ={3}^{4}$$
Saludos y gracias.
Editado 2 veces.
Tema
[No resuelto] 2do parcial 13/12/03 Ej 1
Afirmativo
ya me salio.
te doy la idea
no es muy dificil, tenes que partir de a=3k y b=3p, k coprimo con p.
entonces las cosas que tenes del segundo mcd tienen que ser congruentes a 0 modulo (3^4)
y ahi te vas a dar cuenta si da, osi tiene que haber un 3 mas en a o en b(solo en uno, sino el mcd entre a y no seria 3).
y ahi sale.
te conviene empezar mirando congruencia modulo 3^4 con la parte izquierda del segundo mcd, olvidate del 5^2, no aporta nada.
si no te sale pongo como lo hize.
si te parece que esta mal, comenta y vemos
Puede ser asi...
Escribiendo a \(a = 3k$ y $ b=3q$ con $k \perp q$ vemos que$\)
$$3 \vert {(3k)}^{2}3q = {3}^{3}{k}^{2}q \implies {3}^{4} \vert {3}^{3}{k}^{3}q \Longleftrightarrow a = 9k$ o $b = 9q$$
$$$Luego $3\vert a \implies {3}^{4} \vert {a}^{4}$ y lo mismo para b, entonces ${3}^{4}\vert {a}^{4} + {b}^{4}$$
$$$Luego ${3}^{5} \mid {3}^{4}{k}^{2}q$ ya que podria existir un 3 mas en la factorizacion$$$
$$$de a o de b pero no en ambos. Pero vemos que ${3}^{5} \nmid {a}^{4} + {b}^{4}$ porque si $$$
$${3}^{5} \vert {a}^{4}$ entonces $ {3}^{5} \nmid {b}^{4}$ por lo mismo que antes$$
A esto te referias? Seguramente me falta escribir algo, demostre que \({3}^{4}\) divide a ambos y que \({3}^{5}\) no. Hace falta algo mas???
Graciass
Editado 1 vez.
algo asi, pero le pifiaste un poco.
mira que en el segundo renglon elevando al cubo la A como hiciste, estas diciendo que a^3b es divisible por 3^4
pero nesesitas a^2b, es ahi donde ves que en A o en B debe haber un 3 mas, pero solo en uno de ellos para no alterar el mcd, en base a eso, escribiendo como 3k y 9q te miras que la suma de ambos elevado a la cuarta es congruente a 0.
Ahi lo corregi... me confundi al elevar a 😛
Bueno gracias.. espero ahora este correcto.
Saludos
lo pregunte e hicimos mal los 2.
no puede ser a al cuadrado por b
si fuera a al cubo quiza, pero al cuadrado no, fijate si lo copiaste bien...no entendi porque no u.u
Hago algunas observaciones:
En la demo de kiokusanagi (si no lo escribí mal) te digo dos cosas:
En todo lo que escribiste, no mostraste en ningún momento que \(3^4|5^2a^2b\) o al menos yo no entendí donde.
Por otro lado, si vos probás que \(3^4\) divide a ambos y que \(3^5\) no, esto no te alcanza para decir que el mcd es \(3^4\) podría ser \(3^47\) se entiende? Deberías ver (una opción, no la única) que el único divisor primo común que tienen es 3, y luego tu argumento sí sería valido.
saludos!
Respecto a iwa... si lo copie mal :S perdon a todos.
Luego... ALE... ya lo paso a revisar.
Gracias por sus comentarios
Puede ser asi?
Supongamos que \(\exists\ \text{p primo tal que}\) \((5^{2}a^{3}b:a^{4}+b^{4})=3^{4}p\)
Entonces debe ocurrir que \(p\vert a^{3}b\) y \(p\vert a^{4}+b^{4}\)
Por lo tanto: \(p\vert a\cdot{(a^{3}b)}\) y \(p\vert b\cdot{(a^{4}+b^{4})}\)
Luego \(p\vert a^{4}b+b^{5}-a^{4}b=b^{5}\rightarrow p\vert b\)
Pero \(p\) no puede dividir a \(a\) pues sino se tendria \((a:b)=3p\)
Entonces se llega un absurdo de la siguiente manera:
\(p\vert a^{4}+b^{4}\) y \(p\vert b^{4}\) Luego \(p\vert a\)
Por lo tanto no existe el tal \(p\)
De una puede decirse que si \(p\vert a^{3}b\) entonces divide a \(b\) o a \(a\)
Creo que de hecho sale con que si \(p\) divide a \(a^{4}+b^{4}\) entonces deberia dividir a ambos y no se puedo por lo del mcd...
Ni idea....
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Me hago cargo... a ver si se entiende
Pongamos a=3k y b=3q
Es fácil ver en tal caso que \(3^4\) es un divisor en común de ambas expresiones, que podemos escribir así:\(3^4(k^4+q^4)\) y \(3^4(5^2k^3q)\) Notemos además que k y q son coprimos (sino no sería 3 el mcd entre a y b)
El ejercicio termina si logro probar que el mcd entre estas dos ultimas cosas es 1.
Sea d el mcd destas dos cosas, tomemos p un primo NO 5 tal que p|d, tenemos entonces que como \(p|5^2k^3q\) entonces p|k o bien p|q.
Supuesto que p|k , también divide a \(k^4\), pero como q y k son coprimos, p no divide a q, luego p no divide a \(k^4+q^4\). Exactamente igual se prueba esto si p|q. Luego el mcd entre ellos puede ser 1 o 5 náda más.
Ahora bien. pongámosle que el mcd es 5. Entonces tenemos que \(5|k^4+q^4\) pero recordemos que 5 no puede dividir a ambos. Armamos una tabla de congruencia mód 5 para los casos k y q, y veremos que la única chance de que 5 divida a la suma de sus potencias 4tas es que ambos sean congruentes con 0 módulo 5, justo lo que no puede pasar. Luego el mcd no es 5
En consecuencia el mcd entre las dos cosas esas de antes es 1, y el buscado entre los de la consigna es 3 a la 4.
Hasta luego!!
ALE escribió:
Me hago cargo... a ver si se entiende
Pongamos a=3k y b=3q
Es fácil ver en tal caso que \(3^4\) es un divisor en común de ambas expresiones, que podemos escribir así:\(3^4(k^4+q^4)\) y \(3^4(5^2k^3q)\) Notemos además que k y q son coprimos (sino no sería 3 el mcd entre a y b)El ejercicio termina si logro probar que el mcd entre estas dos ultimas cosas es 1.
Sea d el mcd destas dos cosas, tomemos p un primo NO 5 tal que p|d, tenemos entonces que como \(p|5^2k^3q\) entonces p|k o bien p|q.
Supuesto que p|k , también divide a \(k^4\), pero como q y k son coprimos, p no divide a q, luego p no divide a \(k^4+q^4\). Exactamente igual se prueba esto si p|q. Luego el mcd entre ellos puede ser 1 o 5 náda más.Ahora bien. pongámosle que el mcd es 5. Entonces tenemos que \(5|k^4+q^4\) pero recordemos que 5 no puede dividir a ambos. Armamos una tabla de congruencia mód 5 para los casos k y q, y veremos que la única chance de que 5 divida a la suma de sus potencias 4tas es que ambos sean congruentes con 0 módulo 5, justo lo que no puede pasar. Luego el mcd no es 5
En consecuencia el mcd entre las dos cosas esas de antes es 1, y el buscado entre los de la consigna es 3 a la 4.
Hasta luego!!
Hola que tal? Quería consultar sobre el segundo parrafo (donde termina diciendo que "Luego el mcd entre ellos puede ser 1 o 5 náda más."). No tendría que estar tambien el \(5^2\) como candidato a ser mcd? Luego logicamente habrá una forma de demostrar que este finalmente no va a ser el mcd.
Muchas gracias.
Es claro que si 5 no es un divisor comun (como fue demostrado por ALE) \(5^2\) tampoco lo es.
Firma
Quimey
Quimey escribió:
Es claro que si 5 no es un divisor comun (como fue demostrado por ALE) \(5^2\) tampoco lo es.
Primero muchas gracias Quimey por la respuesta tan rapida.
Mi intencion no era hacer mucho ruido y se entiende que el ejercicio está mas que bien resuelto por ALE.
Tambien comprendo que el ejercicio apunta a que ese mcd mas pequeño a resolver sea efectivamente 1. Pero en ese parrafo me llamó la atención que ya se dé por hecho que el mini mcd no podía ser \(5^n\)con algun n natural en particular.
En mi humilde opinion sería un poco mas claro, para el que lo lee, que se descarte a \(5^n\) luego de demostrar que 5 no es el resultado del mini mcd.
Si piensan que ese comentario desorienta o ensucia la comprencion del ejercicio no tengo problemas en borrarlo. Mi intencion solo era que le resulte un poco mas facil comprender al que se trabó en ese punto como me pasó a mi 😕 .
Saludos.
Una demuestra lo que uno considera adecuado para que se entienda. No hay un criterio sumamente claro de qué es una demostración... con lo que no es criticable que demuestres algo que pueda parecer inmediato o no. En fin, no hace falta borrar posts ni nada, Pulp.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities