Hallar todos los \(n\in{N}\) tales que \(11/n\) y \((n : 1890)=90\) sabiendo que n tiene 36 divisores positivos.
Agradezco cualquier ayuda!
Tema
2do parcial 23/12/02
Sabes que \(n=2^a 3^b 5^c 11^d q\) donde q es coprimo con 2,3,5,11. La condicion que te dan te dice que \(a,c,d \geq 1\) y \(b=2\) Con esto tenes que q=1 porque si hay algun primo p | q entonces \(CANT-DIV(n) \geq 2*2*2*3*2=48\)
Si a, c o d valen 3 ya te quedan 36 divisores. Entonces estas son las unicas posibilidades
n=49511, 292511, 295*121
Creo que no fui muy claro pero espero que la idea se entienda
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Quimey
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Estaba por responder yo =(
\(1890=2.3.3.3.5.7\) y \(90=3.3.2.5\)
sabemos que n tiene que ser entonces de la forma
\(n=11^{a}.2^{b}.5^{c}.3^{2}.q\) con q coprimo con 7,11,2,3,5
con la formulita de la cantidad de divisores positivos:
$$can div pos=\prod_{i=1}^{r}(a_{i}+1)$$
sacas que
\(36=(a+1).(b+1).(c+1).3.\)#div (q)
\(3.2.2=(a+1).(b+1).(c+1).\)#div (q)
no queremos que ni a ni b ni c se hagan 0... entonces si o si \(#div (q)\) tiene que ser 1, y despues tenemos tres posibilidades:
$$n=3^{2}.11.2.5^{2}$$
$$n=3^{2}.11.2^{2}.5$$
$$n=3^{2}.11^{2}.2.5$$
olvide aclarar que los \(a_{i}\) de la productoria son estos:
$$cantdivpos(p_{1}^{a_{1}}...p_{r}^{a_{r}})$$
Gracias por la ayuda.
Ya estan todas las dudas despejadas respecto a este ejercicio.
Gracias de nuevo
Saludos!