Hola, necesito ayuda con este problema
Hallar todos los \(n\in{N}\) tales que \(3^n\equiv{5(11)}\) y \(2^n\equiv{13(17)}\)
Saludos!
Tema
Hallar n
Haces una tabla de \(3^n\) modulo 11 y una de \(2^n\) modulo 17. Esto te va a dar condiciones sobre n modulo 10 y modulo 16. Ahora usas el TCR para sacar una condicion sobre n modulo 80=(10,16).
Firma
Quimey
Primero averiguo los \(3^n \equiv 5 (11)\) diciendo que
$$3^n \equiv 3^r (11)$$
y \(n \equiv r (10)\) (esto sale de Fermat)
Entonces hago la tabla de restos y veo para qué valores \(3^r \equiv 5 (11)\) :
$$\begin{tabular}{ r | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c } { $r$& 0 & 1 & 2 & \color{blue}{3} & 4 & 5 & 6 & 7 & \color{blue}{8} & 9 } \\ \hline { $3^r$& 1 & 3 & 9 & \color{blue}{5} & 4 & 1 & 3 & 9 & \color{blue}{5} & 4 } \end{tabular}$$
entonces de ahí saco que \(n \equiv 3 (10)\) ó \(n \equiv 8 (10)\)
Hago lo mismo para \(2^n \equiv 13 (17)\). De esta tabla (que no hago para ahorrar tiempo) sale que \(n \equiv 6 (16)\) ó \(n \equiv 14 (16)\)
entonces sólo queda buscar los \(n\) que cumplan con esas condiciones haciendo 4 teoremas chinos:
\(n \equiv 3 (10)\) y \(n \equiv 6 (16)\) (no tiene solución)
\(n \equiv 3 (10)\) y \(n \equiv 14 (16)\) (no tiene solución)
\(n \equiv 8 (10)\) y \(n \equiv 6 (16)\), que se obtiene que \(n \equiv 38 (80)\)
\(n \equiv 8 (10)\) y \(n \equiv 14 (16)\), que se obtiene que \(n \equiv -2 (80)\)
y esas serían las soluciones.
Puse la idea básica del ejercicio, controlen que esté bien. Si necesitás que detalle algo más avisá.
Firma
"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra
En realidad hiciste un par de cuentas de mas. Uno sabe que cuando en una tabla de potencias modulo m aparece un 1 a partir de ahí se repite entonces lo que vos podrias obtener es:
\(n\equiv 3 (5)\) y \(n\equiv 6 (8)\) y haciendo un solo teorema chino sacas
$$n\equiv 38(40)$$
daniel escribió:
\(3^n \equiv 3^r (11)\)
y \(n \equiv r (10)\) (esto sale de Fermat)
Si lo que dice quimey es mas practico y rapido,de todos modos no entiendo de donde se saca que hay q comparar a n módulo 10 usando Fermat,no lo veo.
Yo lo hice también diciendo que n era congruente 3 modulo 5 y 6 modulo 8, con 1 solo teo chino. 😄
Firma
Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"
Quimey escribió:
En realidad hiciste un par de cuentas de mas. Uno sabe que cuando en una tabla de potencias modulo m aparece un 1 a partir de ahí se repite entonces lo que vos podrias obtener es:
\(n\equiv 3 (5)\) y \(n\equiv 6 (8)\) y haciendo un solo teorema chino sacas
\(n\equiv 38(40)\)
No entendí de dónde dedujiste esas congruencias 😕
Pape escribió:
Si lo que dice quimey es mas practico y rapido,de todos modos no entiendo de donde se saca que hay q comparar a n módulo 10 usando Fermat,no lo veo.
Vos sabés que \(3^{10} \equiv 1 (11)\), entonces \(3^n \equiv 3^{r_{10}(n)}\)
por lo tanto \(n \equiv r (10)\)
Aah ok
mira lo q dice quimey ahi es facil...vos sabes q el ciclo de restos se repite a partir de un numero,en el caso del 11 vimos q se repite a partir del 5 puesto que ahi aparece el resto 1,que nos indica q los restos se van a empezar a repetir...si te fijas...nuestro resto 5 deseado apareció en el 3 y como el ciclo es de 5, en particular nos van a aparecer estos restos cuando n sea congruente a 3 modulo 5,por ejemplo en el 8 donde vuelve a aparecer, tambien cumple ser congruente 3 modulo 5...y asi va a pasar con el 13 y el resto sumando 5's...con el otro haces lo mismo solo que el ciclo se repite cada 8 restos...y el que queremos nosotros está ubicado en la 6ta posicion creo,ahora no puedo ver porq la respuesta no me deja ver lo q pusieron antes,pero suponiendo q sea el 6...
te queda n congruente a 6 modulo 8 por la misma razon.haciendo teo chino con esos datos obtenes el resultado q querias
Espero haber sido claro.
Gracias!! Entendí perfecto! ahora entiendo lo que dijo... y yo que hice tantas cuentas 😢