Determinar todos los \(a\in \mathbb{Z}\) para los cuales el número \(\frac{{a}^{602}-1}{14}\) es un número entero par.
Pedir que el mencionado número sea un entero par, equivale a pedir que sea divisible por 28(esto se debe a que pido que sea divisible por 14, para que tenga sentido la primera división, y que pueda volver a dividir por 2). Luego... estudio \({a}^{602}-1\equiv 0(28)\Leftrightarrow {a}^{602}\equiv 1(28)\). Como 28=4.7, pido:
$${a}^{602}\equiv 1(4)$$
$${a}^{602}\equiv 1(7)$$
Y ya casi terminamos. Notemos que a no puede ser par, porque en tal caso, dada la enorme potenca 602=301.2, luego quedaría un 4 elevado a una potencia, y como tomo congruencia módulo 4, es congruente a 0 módulo 4(esto no lo hago con mucho detalle porque creo que es sencillo de probar). Como estoy módulo 4, y el exponente es par, concluyo \(a\equiv 1(4),\;a\equiv 3(4)\) son los posibles.
Mirando módulo 7, noto inmediatamente que (a:7)=1 para que tenga sentido. Luego el P.T.F me permite asegurar \({a}^{6}\equiv 1(7)\). Finalmente, como 602=600+2=6.100+2, vale \({a}^{602}\equiv {a}^{2}\equiv 1(7)\). Solo \(a\equiv 1(7),\;a\equiv 6(7)\) son soluciones. Luego aplico T.C.R y listo
Estoy tratando de postear todos ejercicios distintos. Perdón si no aclaro lo suficiente. Nuevamente(¿cuántas veces dije este mismo discurso este día?) saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities