Acá pongo la resolución que plantié, y que luego en el parcial arruiné por no leer la hipótesis principal(en pocas palabras, no leí lo que pedía el ejercicio; ...).
$$\textrm{Supongamos\;que\;tenemos\;dos\;enteros\;a\;y\;b\;tales\;que}\;{a}^{n}\equiv {b}^{n}(m),\;\forall n\geq2 .$$
$$\textrm{Decidir\;si\;necesariamente}\;a\equiv b(m)$$
a)\(m\eq=4\)
Este era fácil, porque no había que buscar mucho para un contraejemplo. La idea es que 4=2², luego claramente \({2}^{n}\equiv {4}^{n}\equiv 0(4)\), si n>1. Esto claramente hace que no valga para m=4, pues 2 no es congruente a 4 módulo 4.
b)\(m\eq=p,\;primo\)
La idea es la siguiente; p es primo, el módulo, luego vale \({a}^{p}\equiv a(p),\;{b}^{p}\equiv b(p)\). Por transitividad, e hipótesis \({a}^{p}\equiv {b}^{p}\equiv a\equiv b(p)\). Luego, vale que si\({a}^{p}\equiv {b}^{p} (p),\Rightarrow\;a\equiv b(p)\). Pero por hipótesis, \({a}^{n}\equiv {b}^{n} (p)\), para todo n mayor o igual que 2. Los primos son mayores o iguales que 2, luego vale en particular la afirmación para n=p. Concluyo luego el resultado buscado; vale para todo p.
c)\(m\eq=p\cdot q,\;primos\;distintos\)
Si no figuró Teorema Chino del Resto en el parcial explícitamente, es porque aparecía acá. \({a}^{n}\equiv {b}^{n}(p\cdot q)\Leftrightarrow {a}^{n}\equiv {b}^{n}(p)\;\land\;{a}^{n}\equiv {b}^{n} (q)\), para todo n>1. Uso el mismo argumento; \({a}^{q}\equiv a(q),\;{a}^\equiv {a}(p),...\) como p, q son primos, y siempre son mayores que 1, y vale la congruencia para todo n>1, va a valer el mismo resultado que b, en cada caso. Luego, el teorema chino del resto termina de hacer el trabajo.
Yo lo resolví así, pero como no leí la hipótesis ''...vale para todo n mayor o igual que 2...'' bueno. Espero que esté bien, y ayude. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities