1.- Hallar los p primos positivos que satisfacen :
$$p\mid 3^{p+1}+5^{p-1}+1$$
Si \(p\neq3 \wedge p\neq5\), el primo es coprimo con 3 y 5. Luego, puedo usar PTF:
$$3^{p-1}\equiv1 ( p ) \Leftrightarrow{\underbrace{3*3*3^{p-1}\equiv3*3*1 ( p )}_{\textrm{pues } (p:3)=1} }\Leftrightarrow{3^{p+1}\equiv9 (p)}$$
Y también:
$$5^{p-1}\equiv1 ( p )$$
Luego:
$$3^{p+1}+5^{p-1}+1\equiv9+1+1\equiv11 (p)$$
Entonces p=11.
Si p= 3, no da, y si p=5, \(5\mid1355\)
2.- 13 ladrones roban 1000 monedas. Mientras se escapan pierden parte del botín. Ya en la guarida reparten las monedas entre los 13 y sobran 5. Luego echan a 2, distribuyen de nuevo entre 11 y sobran 3 monedas. Entonces echan a 4 y vuelven a repartir entre 7, pero sobran 3 monedas otra vez. ¿Cuántas monedas perdieron mientras escapaban?
Bueno, es Teorema chino del resto:
$$\Rightarrow{\begin{Bmatrix}{ x\equiv5(13)}\\x\equiv3(11)\\x\equiv3(7)\end{matrix}}\Leftrightarrow{x\equiv850 (1001)}$$
Luego, perdieron 150 monedas