Parcial 30/10/09 (resuelto)

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Como \((a:b)=7\) y \(b\) es par, \(a\) debe ser impar, por ende tomando congruencias módulo \(4\) vemos que \(a^2+21b+7 \equiv 2 \bmod{4}\) (\(a^2 \equiv 1 \bmod{4}\) y \(21b \equiv 2 \bmod{4}\))

Ahora sabemos que el número \(a^2+21b+7\) es múltiplo de \(2\) pero no de \(4\) y como \(4704\) es múltiplo de \(2\) en el mcd de estas dos cosas va a aparecer en la factorización en primos el \(2\) con exponente uno. Veamos los otros primos que aparecen.
Como \((a:b)=7\) \(a=7c\) \(b=7d\) donde \(c\) y \(d\) son coprimos.
Reemplzando en
\(a^2+21b+7\) tenemos \(49c^2+147d+7=7(7c^2+21d+1)\) esto es múltiplo de \(7\) pero no de \(49\)
\(4704=2^5*3*7^2\) Nos falta ver si el factor \(3\) aparece o no en el lado izquierdo, para ver eso solo hay que tomar congruencias módulo \(3\) y nos quedaría
\(a^2+1 \equiv 0 \bmod{3}\) lo que es absurdo ya que \(a^2 \equiv 0,1 \bmod{3}\)
Concluimos entonces que el mcd buscado es \(14\)