$$\text{Calcular el resto de dividir } \frac{11^{20!} - 1}{2} \text{ por } 9196$$
Tema
[A RESOLVER] ......
Lo que evidentemente debe ser el problema del ejercicio es el 2 del denominador. Notá que \({11}^{20!}-1\) es par, por ser cada uno de los sumandos impares. Luego dividir por 2 está bien en \(\mathbb{Z}\) (aunque hay que ser muy insensible para escribir a un número entero así...). Escribamos, mejor:
\({11}^{20!}-1\eq=2k,\;k\in\;\mathbb{Z}\). Ahora nos podemos sentir mejor y podemos tomar congruencia:
$${11}^{20!}-1\equiv b(9196\cdot 2)$$
(Es lo opuesto a dividir todo para coprimizar el módulo, y los términos, lo que hice). Recordando que \(9196\cdot 2={2}^{3}\cdot {11}^{2} \cdot 19\), puesto que los factores son potencias de números primos(y las mismas entre si son coprimas), podemos calcular cada resto por separado:
$${11}^{20!}-1\equiv b(8)$$
$${11}^{20!}-1\equiv b(121)$$
$${11}^{20!}-1\equiv b(19)$$
Empecemos por la última; 19 es primo, 11 es primo... aplicamos el Pequeño Teorema de Fermat, que nos informa \({11}^{18}\equiv 1(19)\). Pero 18|20!(esto es fácil de ver; basta observar que 20!=20.19.18! y 18! es divisible por 18, por ser 18!=18.17!. En realidad, se puede pedir mucho menos, pero dado que 20! es tan grande, evita hacer cuentas... irónico para el pobre número, tan grande.) Luego es inmediato: \({11}^{20!}-1\equiv 0(19)\)
Pasemos a la segunda condición. Este es aún más fácil, porque 121=11². Claramente 2|20!, luego \({11}^{20!}-1\equiv (-1)\equiv 120(121)\). Falta la primera... notemos, que podemos hacer una reducción inmediata: \({11}^{20!}-1\equiv {3}^{20!}-1(8)\). Observando que \({3}^{2}\eq=9\equiv 1(8)\) (creo que los del turno de Matías Graña, vieron el Teorema de Fermat-Euler. Así pueden sacar el 4, también, pero bueno, me parece una mejor cota el 2) y viendo que 2|20!, puede concluirse... \({3}^{20!}-1\equiv 0(8)\Rightarrow \frac{{11}^{20!}-1}{2}\equiv 0(4)\). Ahora usamos Teorema Chino del Resto y listo(por eso puse módulo 4; para que me vuelva a quedar 9196)
Espero haberte ayudado, Nico. Fijate si me equivoqué en alguna cuenta, pero creo que la idea está bien. Saludos
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Si muchas gracias che ! yo al ver un numero grande como el 9196, pense que habia un curso de accion mas favorable que factorizarlo y hacer como siempre.... yo siempre buscandole la quinta pata al huevo