Primera contribución! Creo que está bien resuelto. Disculpen si está desprolijo pero es la primera vez que escribo en latex 😄
Cualquier cosa pregunten (o corrijan!)
$$\textrm{Sea A = $6+6^2+6^{2004}$. Calcular el resto de dividir $5^{A}$ por 247 (notar que 247 = 13x19)}$$
Si queremos hallar el resto de dividir \($5^A$\) por 247, queremos saber a cuánto es congruente \($5^A$\) módulo 247. Si llamamos r al resto, sabemos que:
$$$5^A \equiv r (247) \leftrightarrow\;5^A \equiv r (19)\:y\:5^A \equiv r (13)$$$
$$\textrm{Si supieramos a cuanto es congruente}\,$5^A$ modulo 13 y modulo 19, reemplazamos en lo anterior y nos queda un sistema lineal de congruencia (la incognita r), que resolvemos facil con teorema chino. Entonces me fijo por Fermat$$
$$A = 6 + 6^2 + 6^{2004} = 6 + 12\ast3 + {(6^2)}^{1002} = 6 + 12\ast3 + {(12\ast3)}^{1002} = 6 + 12\ast3 + 12\ast{12}^{1001}\ast{3}^{1002}$$
$$Entonces, 5^A = 5^6\ast{(5^{12})}^3\ast{(5^{12})}^{{12}^{1001}\ast3^{1002}}\:\equiv\:5^6 (13)$$
$$\textrm{Como}\;5^A = 12 + 1201\ast13\;\textrm{(un poco de calculadora)},\;\textrm{entonces}\; 5^6 \equiv 12\;(mod13)$$
$$\textrm{ De forma similar, trabajando sobre A les va a quedar}\,$A = 6 + 19/ast2 + 19\ast{19}^{1001}\ast2^{1002}$, y trabajando con congruencia modulo 19 les va a quedar que $5^A\,\equiv\,7\;(19)$$$
Ya casi está, ahora que ya sabemos a cuanto es congruente \(5^A\) módulo 13 y módulo 19, resolvemos el sistema que habiamos planteado al principio, es decir
$$r\, \equiv \, 7 \: (19) \; y \; r \equiv 12 \,(13)$$
Tendría que dar algo como \(r\,\equiv\,64\;(247)\), y este es el resto.
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