$$\textrm{Determinar todos los $a\in\mathbb{Z}$ tales que $(12a^{41}-a^{31}-a:55)=11$}$$
\(55=11.5\)
$$12a^{41}-a^{31}-a \equiv 0 (11)$$
Por Fermat:
$$a^{11} \equiv a (11) \Rightarrow a^{41} \equiv a^8 \cdot a^3 \equiv a^{11} \equiv a (11)$$
$$a^{11} \equiv a (11) \Rightarrow a^{31} \equiv a^9 \cdot a^2 \equiv a^{11} \equiv a (11)$$
Entonces queda:
$$12a^{41}-a^{31}-a \equiv a-a-a \equiv 0 (11)$$
$$a \equiv 0 (11)$$
$$\textrm{Por otro lado, 5 no tiene q dividir a $12a^{41}-a^{31}-a$:}$$
Por Fermat:
$$a^5 \equiv a (5) \Rightarrow a^{41} \equiv a^9 \equiv a (5)$$
$$a^5 \equiv a (5) \Rightarrow a^{31} \equiv a^3 (5)$$
Entonces:
$$12a^{41}-a^{31}-a \equiv 2a-a^3-a = a-a^3(5)$$
$$\textrm{Haciendo la tablita de restos me fijo q para q 5 no divida a $12a^{41}-a^{31}-a$}$$
$$\textrm{$a \equiv 2 (5)$ y $a \equiv 3 (5)$}$$
Ahora falta hacer teorema chino con las combinaciones de los sistemas, o sea:
$$a \equiv 0 (11)$$
$$a \equiv 2 (5)$$
y
$$a \equiv 0 (11)$$
$$a \equiv 3 (5)$$
Los resultados son:
$$a \equiv 22 (55)$$
$$a \equiv 33 (55)$$
y listo.... hallamos todos los a tales q el mcd entre esas dos cosas es 11
si no me creen hagan la prueba xD
cualquier cosa preguntemm
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