Este lo odié y lo amé. La primera 1:30 del parcial la pasé diciendo "...tengo los primeros 21 terminos de la función...hay un patrón obvio...se que es temprano pero por diós, cerebro, ayudame...".
Bueno:
$$f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$$
$$f(n) = \begin{cases} \frac{2n}{3}, & \mbox{si }n \equiv 0\mbox{ (mod 3)} \\ \frac{2n+1}{3}, & \mbox{si }n \equiv 1 \mbox{ (mod 3)} \\ \frac{2 - n}{3}, & \mbox{si }n \equiv 2 \mbox{ (mod 3)} \end{cases}$$
Decir si f es injectiva, subjectiva, bijectiva, y si es bijectiva encontrar \(f^{-1}\).
A ver si me acuerdo.
Para ver si es injectiva, quiero probar que \(f(a) = f(b) \to a = b\).
Primero pruebo esto para los casos en que \(a \equiv b\ (mod\ 3)\), en cuyo caso caen en la misma rama de la función:
Si \(n \equiv 0\ (mod\ 3)\):
$$\frac{2a}{3} = \frac{2b}{3}$$
$$2a = 2b$$
$$a = b$$
Si \(n \equiv 1\ (mod\ 3)\):
$$\frac{2a+1}{3} = \frac{2b+1}{3}$$
$$2a+1 = 2b+1$$
$$2a = 2b$$
$$a = b$$
Si \(n \equiv 2\ (mod\ 3)\):
$$\frac{2-a}{3} = \frac{2-b}{3}$$
$$2-a = 2-b$$
$$-a = -b$$
$$a = b$$
Bueno, entonces probé que si a y b tienen el mismo resto, entonces \(f(a) = f(b) \to a = b\).
Ahora pruebo que pasa si nó...
El más simple es el último. Ninguno de los dos primeros puede ser \(f(n) \le 0\), así que si f(a) es menor que 0 (y f(a) = f(b)), entonces la única que queda es que haya salido del tercer caso. Como el tercer caso es una función lineal, y por lo tanto bijectiva, sabemos que f(a) = f(b) implica a=b.
Ahora el primero y segundo. Esto lo pruebo por contrarecíproco (\(a \ne b \to f(a) \ne f(b)\) diciendo que uno siempre escupe pares, el otro siempre impares.
Para el primero:
$$n \equiv 0\ (mod\ 3) \to n = 3q, \mbox{para algun q} \in \mathbb{Z}$$
$$f(n) = \frac{2(3q)}{3} = \frac{6q}{3} = \frac{6q}{3} = 2q$$
Es facil ver que entonces f(n) es par para cualquier \(n \equiv 0\ (mod\ 3)\)
Ahora el segundo:
$$n \equiv 1\ (mod\ 3) \to n = 3q + 1, \mbox{para algun q} \in \mathbb{Z}$$
$$f(n) = \frac{2(3q+1)+1}{3} = \frac{6q+2+1}{3} = \frac{6q}{3} + 1 = 2q +1$$
Es facil ver que entonces f(n) es impar para cualquier \(n \equiv\ 1 (mod\ 3)\)
Entonces probamos que si f(n) es par (y positivo), cayó en una de las sub-funciones, y si f(n) es impar (y positivo) cayó en la otra, ya ya probamos que si caía en la misma sub-función y f(a) = f(b), entonces a = b. Como un número solo puede ser (positivo&par) o (positivo&impar) o (negativo), esto cubre todos los casos, y mostramos que f(a) = f(b) implica a = b.
(Nota: Esto estaba mejor explicado en el parcial, ahora no se me ocurre una manera copada de ponerlo en palabras...pero se vé, no? Osea, f(a) = f(b) o son pares, o impares, o negativos (los dos, f(a) y f(b)), y solo una de las subfunciones produce cada tipo, y ya probamos que si cayeron en la misma subfunción y son iguales sus resultados, son iguales a y b).
Bueno. Esto prueba la injectividad.
Ahora probemos subjectividad.
Queremos probar que \(Dom(f) = \mathbb{Z}\). Osea, quiero ver que
$$\forall m \in \mathbb{Z}, \exists n \in \mathbb{N} \diagup f(n) = m$$
Esto también lo pruebo por partes. Primero, la última que es la más facil:
Si caímos en la tercera, es porque \(n \equiv 2\ (mod\ 3)\). Si pasa esto, el próximo que va a caer aca va a ser un m = n + 3. Veamos que le pasa a m...
$$f(m) = \frac{2-m}{3} = \frac{2-(n+3)}{3} = \frac{2-n-3}{3} = \frac{2-n}{3} - \frac{3}{3} = f(n) - 1$$
Entonces, llegamos a que cada vez que caiga en la tercera función, me va a dar un número que es uno menor que el anterior que cayó acá. También sabemos que f(2) = (2-2)/3 = 0, entonces tenemos una subfunción estríctamente decreciente y que empieza en 0. Por lo tanto, f(n) cubre todos los enteros negativos (y el 0) a medida que n cubre los positivos (en particular, los positivos que sean equivalentes a 2, módulo 3).
Bueno, ahora probemos los positivos.
Primero, quiero ver que le pasa a \(f_1\).
Si caí en \(f_1\), es porque \(n \equiv 0\ (mod\ 3)\). El próximo natural que va a cumplir esta condición es un m = n + 3. Veamos que le pasa a m..
$$f(m) = \frac{2m}{3} = \frac{2(n+3)}{3} = \frac{2n+6}{3} = \frac{2n}{3} + \frac{6}{3} = f(n) + 2$$
Osea, el próximo natural que caiga acá va a haber saltado 2 números. Como sabemos que el primero que cae acá es f(3) = 2, esto cubre todos los pares positivos.
Ahora, veamos que pasa algo similar con \(f_2\):
\(f(m) = \frac{2m+1}{3} = \frac{2(n+3)+1}{3} = \frac{2n+6+1}{3} = \frac{2n+1}{3} + \frac{6}{3} = f(n) + 2\).
Y, análogamente a \(f_1\), sabiendo que empezamos a usar esta función en f(1) = 1, esto cubre todos los impares positivos.
Pero epa. Ya cubrimos los negativos y el 0, los positivos pares, y los positivos impares. A bailar, que ya probamos subjectividad!
Y si, como es injectiva y subjectiva, es bijectiva señores.
Ahora, a encontrar \(f^{-1}\). Esta la verdad la hice a ojo...
$$f^{-1}(n) = \begin{cases} \frac{3n}{2}, & \mbox{si }n \equiv 0\mbox{ (mod 3)} \\ \frac{3n-1}{2}, & \mbox{si }n \equiv 1 \mbox{ (mod 3)} \\ -3n+2, & \mbox{si }n \equiv 2 \mbox{ (mod 3)} \end{cases}$$
Esto sale dándole un poco de maña nomás...
Igual, hay que probar que \(f^{-1}(f(n)) = n\)...
En cada caso:
$$\frac{3(\frac{2n}{3})}{2} = n$$
$$\frac{2(\frac{3n-1}{2})+1}{3} = n$$
\(\frac{2-(-3n+2)}{3} = n\)
Y listo 🙂
Había un punto abajo que tenía que ver con relaciones...alguien se lo acuerda así resuelvo esa parte también?
Gracias 🙂
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Ahi va 🙂
Bueno, la reflexividat sale fácil. Quiero probar que \(\forall a \in \mathbb{N}, aRa \to \forall a \in \mathbb{N}\ \ (f(a))^2 \le (f(a))^2\).
Este es trivial, porque siempre \((f(a))^2 \le (f(a))^2\). En particular, \((f(a))^2 = (f(a))^2\).
Simetría:
Quiero ver que \(\forall a, b \in \mathbb{N}\ \ bRa \to aRb\).
Esto va a ser falso porque \(\le\) es una relación de orden.
Para encontrar un contraejemplo, basta ver a = 2, b = 3.
bRa pues f(a) = 0, f(b) = 2, y 0 es menor o igual a 4.
Pero aRb es falso, pues 4 no es menor o igual a 0.
Antisimetría y transitividad:
Esto no lo fundamenté del todo bién creo. Yo lo que planteé es que f(n)^2 define a los naturales mas el 0. A este conjuntos se le puede aplicar la operacion "menor o igual a". Como le puedo aplicar esta operación, y esta define una relación de orden (siendo el orden canónico de los naturales), esta relación va a cumplir antisimetría y transitividad.
Esto puede llegar a haber sido fruta. Mi cerebro lo dejó pasar porque era el primer ejercicio y no había desayunado. Alguna objeción obvia (ie. contraejemplo)?
Saludos.
EDIT: Quimey informa que no va a ser antisimétrica (y, por lo tanto, que mandé fruta con la analogía). Como ejemplo, tenemos a=1, b = -1. aRb y bRa, pero a!=b. Por lo tanto, no puede ser antisimétrica. 🙂
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