\(70!+{2}^{68} \cdot {5}^{15} \equiv 70! \ (2)\) y \(70!+{2}^{68} \cdot {5}^{15} \equiv 70! \ (5)\)
y como tanto \(2\) como \(5\) dividen a \(70!\) y son coprimos, resulta obvio que el MCD no puede ser ninguno de ellos.
Entonces \(d\) deberia ser \(1\) o \(10\). Lo cual es absurdo ya que supuse que \(d\) era primo.
Luego \(d\) no es primo.
Si \(d\) no es primo y \(d \neq 1 \Rightarrow \exists p\) un primo positivo tal que \(p|d\)
Pero si analizamos la situacion, es análoga a lo anterior. Y llegamos a un nuevo absurdo, esta vez proviene de suponer \(d \neq 1\). Luego, \(d=1\), y ese es nuestro MCD.
ese no está bien. Ya del vamos 2 podría ser un divisor en común por ejemplo. Fijate que 2 divide a 70! y divide a \(2^{68}5^{15}\)
Luego el máximo divisor común no puede ser 1. Igual \(2^2,2^3,2^4,2^5...\) también dividen ^^
Lo siento ._.
pd: che, vas a subir el de combinatoria? sino lo subo ^^
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
yo tenía el otro tema, y el MCD daba \(2^{56}\cdot3^{26}\)
(no me acuerdo exactamente las potencias, pero el asunto es que es un número muuuuy grande)
a mi me dio igual =D...
creo que eran \(2^{56}\cdot3^{27}\) sino mal recuerdo..
correcto.
del 60! sacabas \(2^{56}\cdot3^{28}\) pero como del lado izquierdo tenias \(3^{27}\) sacabas factor comun de ambos lados lo necesario y quedaba \(2^{56}\cdot3^{27}\).
Hola, q tal? yo rendi ese examen y casualmente este punto no lo hice. ahora lo estoy haciendo y me explicaron una manera dividiendo los numeros y tomando parte entera, me gustaria saber como se hacia sin eso... desde ya muchas gracias...
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*let's take each other to the limit to see if we converge *
Lo resolví pero tengo una duda al final, donde me parece que tengo que demostrar que son coprimos 2 numeros que me quedan... Diganme si estoy flasheando o si me falta hacer algo antes para no tener que demostrar lo que digo. Aquí va.
Calcular \((70! + 2^{68} . 5^{15}: 30^{69})\)
Bien, voy a intentar calcular el MCM viendo los primos comunes en la factorización de ambos números y de esos primos comunes tengo que ver el de menor exponente.
Factorizo el 30
$$30 = 2.3.5$$
El 3 no divide a \(70! + 2^{68} . 5^{15}\) (se ve facil tomando las congruencias)
Entonces ya tengo que los posibles primos del MCD son 2 y 5.
Voy a ver cual es la máxima potencia de 2 y de 5 que divide a \(70!\)
Acá es donde viene la parte de trabajar con la parte entera de una división. Para ver cual es la maxima potencia de 2 y de 5 de 70! debo ver el exponente del 2 en la factorización de 70!. O es lo mismo que ver la cantidad de multiplos de 2, 4, 8, 16, 32, 64 que hay hasta el 70.
Escribí \(5.p1.p2...pn\) ya que sería lo que quedaría de la factorización de 70! al sacarle factor comun \(2^{67}.5^{15}\) Me quedaría solo un 5 y primos disintos a 2.
Y para terminar de probar que el MCD es \(2^{67}.5^{15}\) no me faltaría ver que \((5.p1.p2...pn + 2:2^{2}.5^{54}.3^{69})\) es uno, o sea que son coprimos???
A simple vista creo que veo facilmente que son coprimos... Pero a lo que voy es, estoy pensando algo mal o tengo alguna manera de probar que el MCD es \(2^{67}.5^{15}\) sin necesidad de ver que sean coprimos con alguna propiedad o algo de la factorización que no me estoy dando cuenta??
Otra vez más, a lo que voy es que no me puedo dar cuenta 'trivialmente' que la suma de \((5.p1.p2...pn + 2\) no me forme un numero que sea divisible por 2,3 o 5. LO CUAL IMPLICARIA QUE DEBERIA AGREGAR UN 2 O UN 3 O UN 5 AL MCD...