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[Resuelto] 1er Parcial 16/05/09 Ej 4.

6 respuestas 9346 visitas 2009-05-16

#1 Rapsodius 2009-05-16 19:45

Otro mas, sale como pan caliente:

\textrm{Sea $a \in \mathbb{Z}$}

\textrm{a) Probar que $7|a^4-4a-2\Rightarrow 7|a^5-a^4+2$}

\textrm{b) Probar que no vale la reciproca}

a) Armo la tabla:

\begin{tabular} { c || c | c | c | c | c | c } { $r_7(a)$ & $r_7(a^2)$ & $r_7(a^4)$ & $r_7(a^5)$ & $r_7(4a)$ & $r_7(a^4-4a-2)$ & $r_7(a^5-a^4+2)$ } \\ \hline { 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 2 } \\ \hline { 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & 2 & 2 } \\ \hline { 2 & 4 & 2 & 4 & 1 & 6 & 2 } \\ \hline { 3 & 2 & 4 & 5 & 5 & 4 & 3 } \\ \hline { 4 & 2 & 4 & 2 & 2 & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} } \\ \hline { 5 & 4 & 2 & 3 & 6 & 1 & 3 } \\ \hline { 6 & 1 & 1 & 6 & 3 & \color{red}{3} & \color{red}{0} } \end{tabular}

Ahora me fijo los numeros en azul:

r_7(a^4-4a-2) = 0 \Rightarrow r_7(a^5-a^4+2) = 0

Por lo tanto vale.

Ahora me fijo en la tabla los numeros en rojo:
La unica posicion en donde hay un resto 0 para $a^5-a^4+2$ pero no para $a^4-4a-2$ es cuando $r_7(a)=6$

Por lo tanto, elijo un numero que al dividirlo por $7$ me de resto $6$ x ej: $-1$

Y ahora contraejemplo:
$7|a^5-a^4+2 = {(-1)}^5-{(-1)}^4+2 = -1-1+2 = 0 \Rightarrow 7|0$ V.
Pero $7\not|a^4-4a+2 = {(-1)}^4-4{(-1)}-2 = 1+4-2 = 3 \Rightarrow 7\not|3$
$\textrm{$\Rightarrow$ No vale la reciproca.}$

#2 Frangipani 2009-05-16 20:18

Perfecto! yo hice lo mismo con el mío! Era otro tema pero salía igual. El más fácil de todos fue =P

Firma

"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

#3 Rapsodius 2009-05-16 20:42

Frangipani escribió:

Perfecto! yo hice lo mismo con el mío! Era otro tema pero salía igual. El más fácil de todos fue =P

Si el tema es que a varios no se les ocurrio lo de la tabla, es un ejercicio muy conceptual, sino se te ocurria eso la ibas a tener dificil para resolverlo.

#4 Maxtwo 2009-05-17 02:02

Rapsodius escribió:

Frangipani escribió:

Perfecto! yo hice lo mismo con el mío! Era otro tema pero salía igual. El más fácil de todos fue =P

Si el tema es que a varios no se les ocurrio lo de la tabla, es un ejercicio muy conceptual, sino se te ocurria eso la ibas a tener dificil para resolverlo.

Como pueden resolverlo sin tabla? eso estaria interesante de ver...

#5 exequiel131719 2009-05-17 04:17

7|{a}^{4}-4a-2\implies 7|{a}^{5}-{a}^{4}+2

Como ${a}^{5}-{a}^{4}+2\eq={a}^{4}(a-1)+2\eq={a}^{4}(a-1)+(-4a-2)(a-1)-(-4a-2)(a-1)+2\eq=({a}^{4}-4a-2)(a-1)+(4a+2)(a-1)+2\eq=({a}^{4}-4a-2)(a-1)+4{a}^{2}-2a$. De acá se desprende rápido que debería ocurrir $7|4{a}^{2}-2a\eq=2a(2a-1)$, y luego $7|a(2a-1)$. Chequear esto es más fácil me parece

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#6 hookdump 2009-08-04 12:37

Rapsodius escribió:

Otro mas, sale como pan caliente:
$\textrm{Sea $a \in \mathbb{Z}$}$ $\textrm{a) Probar que $7|a^4-4a-2\Rightarrow 7|a^5-a^4+2$}$ $\textrm{b) Probar que no vale la reciproca}$
a) Armo la tabla:
$\begin{tabular} { c || c | c | c | c | c | c } { $r_7(a)$ & $r_7(a^2)$ & $r_7(a^4)$ & $r_7(a^5)$ & $r_7(4a)$ & $r_7(a^4-4a-2)$ & $r_7(a^5-a^4+2)$ } \\ \hline { 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 2 } \\ \hline { 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & 2 & 2 } \\ \hline { 2 & 4 & 2 & 4 & 1 & 6 & 2 } \\ \hline { 3 & 2 & 4 & 5 & 5 & 4 & 3 } \\ \hline { 4 & 2 & 4 & 2 & 2 & \color{blue}{0} & \color{blue}{0} } \\ \hline { 5 & 4 & 2 & 3 & 6 & 1 & 3 } \\ \hline { 6 & 1 & 1 & 6 & 3 & \color{red}{3} & \color{red}{0} } \end{tabular}$
Ahora me fijo los numeros en azul:
$r_7(a^4-4a-2) = 0 \Rightarrow r_7(a^5-a^4+2) = 0$
Por lo tanto vale.

b)

Ahora me fijo en la tabla los numeros en rojo:
La unica posicion en donde hay un resto 0 para $a^5-a^4+2$ pero no para $a^4-4a-2$ es cuando $r_7(a)=6$

Por lo tanto, elijo un numero que al dividirlo por $7$ me de resto $6$ x ej: $-1$

Y ahora contraejemplo:
$7|a^5-a^4+2 = {(-1)}^5-{(-1)}^4+2 = -1-1+2 = 0 \Rightarrow 7|0$ V.
Pero $7\not|a^4-4a+2 = {(-1)}^4-4{(-1)}-2 = 1+4-2 = 3 \Rightarrow 7\not|3$
$\textrm{$\Rightarrow$ No vale la reciproca.}$

¿Esto de la tabla es suficiente demostración? en el parcial dijiste mas o menos esto mismo, o te explayaste más con palabras??
O sea, yo veo clarito que los números marcados en azul prueban la implicación... pero... ¿cuenta como demostración? 😛

Firma

\displaystyle\lim_{dom \to lun} = paja

http://hookdump.com

#7 exequiel131719 2009-08-05 08:22

Estrictamente tendrías que decir que $\mathbb{Z}$ queda partido en siete clases de equivalencia cuyos representantes son $0,1,2,3,4,5,6$(los restos de dividir por $7$. Se puede buscar otro sistema de representantes). En resumen: la tabla de restos es justificación.