Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) tales que \((a:b)=1\). Hallar todos lo valores posibles de
$$(4b^2+a^2:2a^2+5b^2)$$
La verdad es el primero de coprimidad que me puse a hacer. Alguna sugerencia?
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[No resuelto] Primer Parcial (17/05/03)- Ej (4)
Sea \(d\eq=(4{b}^{2}+{a}^{2}:2{a}^{2}+5{b}^{2})\). Debe verificar, por ser el mcd:
$$d|4{b}^{2}+{a}^{2}\implies d|8{b}^{2}+2{a}^{2}$$
$$d|5{b}^{2}+2{a}^{2}$$
Tenemos, luego, \(d|8{b}^{2}+2{a}^{2}-5{b}^{2}-2{a}^{2}\eq=3{b}^{2}\). Luego, si suponemos \(d\neq 1\), existe un primo positivo \(p\) tal que \(p|d\). Por transitividad \(p|3{b}^{2}\implies p|3\) o \(p|{b}^{2}\iff p|b\). Luego, estudiemos qué sucede si \(p|b\)
\(d|4{b}^{2}+{a}^{2}\). Por transitividad \(p|4{b}^{2}+{a}^{2}\). Dado que tenemos \(p|b\implies p|4{b}^{2}\), necesariamente \(p|{a}^{2}\iff p|a\).
Pero luego \(p|b\) y \(p|a\) con lo que \(p|(a:b)\eq=1\), absurdo dado que \(p\) es primo. De aquí tenemos, luego, que debe verificarse \(p|3\). Por ser \(3\) primo deducimos \(p\eq=3\).
Bueno, ahora ya estamos; sabemos que de haber un primo que divide a \(d\), es \(3\), luego \(d\eq={3}^{k},\,k \in \mathbb{N}\). Si miramos todas las cuentas de antes, llegamos en un momento a \(d|3{b}^{2}\). Si \(d\eq={3}^{k}\), resulta \({3}^{k}|3{b}^{2}\) entonces, como \(k\) es natural, podemos simplificar y \({3}^{k-1}\) es natural, teniendo \({3}^{k-1}|{b}^{2}\). Por lo que vimos antes, si \(k-1>0\), tenemos \(3|{b}^{2}\iff 3|b\) y llegamos al mismo absurdo que antes. Concluímos que necesariamente \(k-1\eq=0\iff k\eq=1\). O sea, \(d\eq=3\).
Pero no terminamos. Obtuvimos que de ser \(d\neq 1\), debe valer \(3\). Tenemos que verificar efectivamente si puede ocurrir \(d\eq=3\) o no. Para ello, miramos congruencias módulo 3, y hacemos las tablas de restos:
$$4{b}^{2}+{a}^{2}\equiv {b}^{2}+{a}^{2}(3)$$
Un ejercicio de la práctica creo que decía que \(3|{a}^{2}+{b}^{2}\iff 3|(a:b)\). Esto descarta, luego, que \(d\eq=3\). Resulta entonces que \(d\eq=1\).
Es importante entender la lógica detrás de los ejercicios. Espero que sirva y no me haya equivocado. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
A ver, yo lo hice así:
Sea \(d\in{\mathbb{Z}}\quad d=(4b^2+a^2:2a^2+5b^2)\) entonces:
$$d|4b^2+a^2\quad\Rightarrow\quad d|2(4b^2+a^2)$$
Y \(d|2a^2+5b^2\)
Luego \(d|2(4b^2+a^2)-(2a^2+5b^2)\) es decir \(d|3b^2\)
Además como
$$d|2a^2+5b^2\quad\Rightarrow\quad d|4(2a^2+5b^2)$$
Luego \(d|4(2a^2+5b^2)-5(4b^2+a^2)\) es decir \(d|3a^2\)
Ahora, si:
\(d|3b^2\) Y \(d|3a^2\) Entonces \(d|(3b^2:3a^2)\)
Por otro lado
\((3b^2:3a^2)=3(b^2:a^2)=3(b:a)^2=3\) pues \((b:a)=1\)
Entonces \(d|3\) y d solo puede ser +1,-1,+3,-3
Y acá pruebo si 3 es divisor y sino debe ser 1 el MCD
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Estuve un rato para tratar de entenderlo y me quedaron dos cabos sueltos:
En la parte q llegas y decis \(d=3^k\) no entendi eso, no tendria q ser \(d=q \cdot 3^k\) para q 3 lo divida? Es decir, podrias eventualmente tener un d q sea multiplo de otra cosa ademas de 3, a menos q estes usando alguna propiedad q no me halla dado cuenta.
exequiel131719 escribió:
\(p|{b}^{2}\iff p|b\)
Y esta directamente no la entiendo. Vale siempre q si \(a|b^2 \iff a|b?\) o solo en el caso particular de que a (o p en el ejercicio) sea primo?
Y una correccion:
Fijate q tenes q suponer \(d\neq 1\) y no \(d\neq 0\) para afirmar la existencia de \(p\) primo positivo tq \(p|d\)
Lo del 0 y el 1 se me re pasó; pasa que muchas veces representan algo "similar"(Quimey, no tirés la bronca por el comentario). Pero olvidá esto.
Fijate que yo digo "sea\(p\) primo que divida a \(d\)". Si concluí que \(p\eq=3\), estoy diciendo que el único primo posible que puede dividir a \(d\) es \(3\), con lo que el \(q\) que decís debe ser necesariamente \(1\).
La propiedad \(p|{a}^{n}\iff p|a\) es casi exclusiva de los primos; por ejemplo, \(4|{2}^{2}\) pero \(4|2\) es falso. Este es uno de los primeros ejercicios de la práctica 4 probablemente, y la demostración es intuitiva; por el teorema fundamental de la aritmética, \(a\) lo factorizás como producto de primos. Si \(p|{a}^{n}\) es porque \(p\) aparece en la factorización de \({a}^{n}\) y si aparece en la factorización es porque aparece con exponente divisible por \(n\). De acá deducís que al menos \(p|a\). Esta es una idea de por qué vale. Si tuvieras, por otro lado, \(a|{p}^{n}\) con \(p\) primo, también es mentira; lo que vale es que \(a\) es una potencia más chica de \(p\)
Espero que se entienda.
PD: en la práctica 4, ejercicio 26 está probar que \(p\cdot q|{a}^{n}\), con \(p,q\) primos distintos, entonces \(p\cdot q|a\). Sino, seguro algo así habrán enunciado en alguna de las teóricas.
Si lo entendi y no solo eso sino q ayer despues de postear me quede pensando y se puede demostrar q si \(p|a^2 \Rightarrow p|a\):\(\textrm{$p|a^2 = a \cdot a \Rightarrow$. Como p es primo $p|a$ o $p|a$ $\Rightarrow$ $p|a$}\). Bastante obvio pero se me paso por alto
Rapsodius escribió:
Si lo entendi y no solo eso sino q ayer despues de postear me quede pensando y se puede demostrar q si \(p|a^2 \Rightarrow p|a\):\(\textrm{$p|a^2 = a \cdot a \Rightarrow$. Como p es primo $p|a$ o $p|a$ $\Rightarrow$ $p|a$}\). Bastante obvio pero se me paso por alto
Es normal que a esta altura te pasen esas cosas; sobre todo si aún no llegaron a la parte del Teorema fundamental de la aritmética.
crazy2k escribió:
Es normal que a esta altura te pasen esas cosas; sobre todo si aún no llegaron a la parte del Teorema fundamental de la aritmética.
Pero si vimos el TFA...