Tema
Probar que \((7^{40}-5^{41}\ :\ 7^{41}+5^{40})=4\)
Si 4 es MCD entonces \(4|7^{40}-5^{41}\ \ y\ \ 4|7^{41}+5^{40}\)
Por congruencias:\(7^{40}-5^{41}\equiv (-1)^{40}-1^{41}(4)\equiv 0(4)\)
<div class="math math-display">$$7^{41}+5^{40}\equiv (-1)^{41}+1^{40}\equiv 0 (4)$$</div>
Ahora: para que sea el Mcd además tiene que cumplir esto: si \(C|7^{40}-5^{41}\ \ y\ \C|7^{41}+5^{40}\) Entonces \(C|4\)
Como pruebo esto último??
The End Of This Chapter...
juas, ese de enteros justo estuve intentando hacer hoy a la tarde, y no pude, asi que me sumo al pedido ^^..
estoy re mal con enteros, no me sale ningunoo, todo x culpa de analisis, que la semana pasada cuando se dio el tema estaba ejercitando para el parcial y por eso no le di bola :@...
Hoy estuve con unos amigos tratando de resolverlo y le terminamos preguntando a Graña
Cuento más o menos como es la idea...
Cambiando las expresiones por combinaciones lineales llegás a
\((36 \cdot7^{40}:36 \cdot5^{41})\) que es igual a \(36 (7^{40}:5^{41})\)
Como 7 y 5 son coprimos \((7^{40}:5^{41})=1\)
Entonces el MCD tiene que dividir a \(36=2^2\cdot3^3\)
Si prueban que \(3\) no divide a las expresiones que da el enunciado (sale fácil por congruencia), los únicos valos podibles para el MCD son \(1, 2\) y \(4\).
Y como ya probaron que \(4\) divide a las dos expresiones, entonces el MCD es \(4\)
Perdón la desprolijidad pero es tarde... jaja
Sofía escribió:
Hoy estuve con unos amigos tratando de resolverlo y le terminamos preguntando a Graña
Cuento más o menos como es la idea...
Cambiando las expresiones por combinaciones lineales llegás a
\((36 \cdot7^{40}:36 \cdot5^{41})\) que es igual a \(36 (7^{40}:5^{41})\)Como 7 y 5 son coprimos \((7^{40}:5^{41})=1\)
Entonces el MCD tiene que dividir a \(36=2^2\cdot3^3\)
Si prueban que \(3\) no divide a las expresiones que da el enunciado (sale fácil por congruencia), los únicos valos podibles para el MCD son \(1, 2\) y \(4\).
Y como ya probaron que \(4\) divide a las dos expresiones, entonces el MCD es \(4\)
Perdón la desprolijidad pero es tarde... jaja
graciass sofi!..ya lo pude hacer ahora, me ahorraste tener que preguntar a los ayudantes mañana ^^
salu2!..
No entiendo cómo llegas al 36...
Mr. Satán escribió:
No entiendo cómo llegas al 36...
no se si esta bien eh..pero yo pensé que era así =P:
Planteando combinaciones lineales:
no se bien como es lo de comprobar por congruencia lo de que 3 no los divide, si alguien puede plantearlo estaré muy agradecido :S..
edit: osea, me quedaria que \(7^{41}+5^{40} \equiv 2^{41} + 2^{40} (3)\) pero despues no se como seguir :S..
.-Eze-. escribió:
Mr. Satán escribió:
No entiendo cómo llegas al 36...
no se si esta bien eh..pero yo pensé que era así =P:
Planteando combinaciones lineales:
$$7^{41}+5^{40}=7(7^{40}-5^{41})+7\cdot 5^{41}+5^{40}=7(7^{40}-5^{41})+5^{40} \cdot (35 + 1)$$$$7^{40}-5^{41}=(-5) \cdot (7^{41}+5^{40}) + 5 \cdot 7^{41} + 7^{40}=(-5) \cdot (7^{41}+5^{40}) + 7^{40} \cdot (35 + 1)$$no se bien como es lo de comprobar por congruencia lo de que 3 no los divide, si alguien puede plantearlo estaré muy agradecido :S..
edit: osea, me quedaria que \(7^{41}+5^{40} \equiv 2^{41} + 2^{40} (3)\) pero despues no se como seguir :S..
Usas que \(2\) es congruente a \(-1 (3)\)!!
Sofía escribió:
Usas que \(2\) es congruente a \(-1 (3)\)!!
ahhhhh, y me quedaria:
Por lo tanto, eso quiere decir que 3 divide a \(7^{40}-5^{41}\), no?..
peroo.. si analizo la otra parte, me daria que:
por lo tanto, 3 no divide a \(7^{40} - 5^{41}\), y por lo tanto no podria ser el MCD entre ellos 2...seria asi para verificarlo por congruencia entonces?
toi al hornoo para el sabado me parecee 🙁..
Editado 1 vez.
.-Eze-. escribió:
Sofía escribió:
Usas que \(2\) es congruente a \(-1 (3)\)!!
ahhhhh, y me quedaria:
$$2^{41} + 2^{40} \equiv (-1)^{41} + (-1)^{40} (3)$$$$2^{41} + 2^{40} \equiv -1 + 1 (3)$$$$2^{41} + 2^{40} \equiv 0 (3)$$Por lo tanto, eso quiere decir que 3 divide a \(7^{40}-5^{41}\), no?..
peroo.. si analizo la otra parte, me daria que:
$$7^{40}-5^{41} \equiv 2^{40} - 2^{41} (3) \equiv (-1)^{40} - (-1)^{41} (3) \equiv 1 + 1 (3) \equiv 2 (3)$$por lo tanto, 3 no divide a 7^{40} - 5^{41}, y por lo tanto no podria ser el MCD entre ellos 2...seria asi para verificarlo por congruencia entonces?
edit: toi al hornoo para el sabado me parecee 🙁..
Claro, como 3 no divide a uno de ellos, entonces ni 3, ni ningún múltiplo de 3 puede ser el MCD.
Para Mr. Satán, al 36 llegué haciendo combinaciones lineales entre \(7^{40} - 5^{41}\) y \(7^{41}+5^{40}\), no me acuerdo exactamente cómo...
Quimey
Gracias!!
Una pregunta más: no sería \(7\equiv 1 (3)\)??
Mr. Satán escribió:
Gracias!!
Una pregunta más: no sería \(7\equiv 1 (3)\)??
tenes razonn q bldo soyy, con razon no me cerraba nada =S...me salvaste de romper algo, gracias jajaja.
ja ja ja.....igual con el 2^40 sí funcionaba
Mr. Satán escribió:
ja ja ja.....igual con el 2^40 sí funcionaba
jaja, si, ya se, pero no me tenia "convencido" que lo que habia hecho "valía" y me puse a probar con 7 y 5 con exponentes chicos jajaja, y me daban cualquier cosa las congruencias, y no entendia nada :S...no se de donde saque el 2 XD, y dsp nunca pense que el error podia esta ahi Oo...