Sea\(\Re\) la relación definida en \({G}_{32}\) tal que \(z\Re w \Leftrightarrow z\cdot \overline{w}\in {G}_{24}\). Probar que es de equivalencia \(\Re\) y determinar el cardinal de \(\overline{[i]}\)(la clase de equivalencia de \(i\))
Veamos que \(\Re\) es una relación de equivalencia.
-Reflexividad: \(z\cdot \overline{z}\eq={|z|}^{2}\). Como \(z\in {G}_{32}\Rightarrow |z|\eq=1\Rightarrow {|z|}^{2}\eq=1\) y \(1\in {G}_{24}\). Luego \(z\Re z,\;\forall z\in {G}_{32}\)
-Simétrica: \(z\Re w \Leftrightarrow z\cdot \overline{w}\in {G}_{24}\Leftrightarrow \overline{z\cdot \overline{w}}\eq=\overline{z} \cdot w\eq=w\cdot \overline {z} \in {G}_{24}\Leftrightarrow w\Re z\). Luego es simétrica
-Transitiva:\(z\Re w\Leftrightarrow z\cdot \overline{w}\in {G}_{24}\). Sea \(z\cdot \overline {w}\eq={a}_{1}\Leftrightarrow \overline{w}\eq={a}_{1}\cdot {z}^{-1}\Leftrightarrow w\eq= \overline{{a}_{1}} \cdot z\).
Ahora, \(w\Re r\Leftrightarrow w\cdot \overline{r}\in {G}_{24}\). Sea \(w\cdot \overline{r}\eq={a}_{2}\). Reemplazando: \(z\cdot \overline{{a}_{1}} \overline{r}\eq={a}_{2}\Leftrightarrow z \overline{r}\eq= {a}_{2}\cdot {a}_{1}\). Puesto que \({a}_{1},{a}_{2}\in {G}_{24},\Rightarrow {a}_{1}\cdot {a}_{2}\in {G}_{24}\Rightarrow z\cdot \overline{r}\in {G}_{24}\Leftrightarrow z\Re r\). Vale la transitividad.
Luego, es una relación de equivalencia \(\Re\).
En cuanto a la segunda parte, \(z\Re i\Leftrightarrow z\cdot (-i)\in {G}_{24}\Leftrightarrow {(-zi)}^{24}\eq={z}^{24}{i}^{24}\eq={z}^{24}\eq=1\). Luego, \({z}^{24}\eq=1\Leftrightarrow z\in {G}_{24}\). Pero \(z\in {G}_{32}\). Se concluye \(z\in {G}_{24} \cap {G}_{32}\eq={G}_{8}\). Luego, los z relacionados son los elementos de \({G}_{8}\); puesto que el cardinal de este conjunto es 8, se concluye que el cardinal buscado es 8.
Espero haber ayudado. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities