Hola, este ejercicio no supe como encararlo.
A ver si pueden ayudarme...
Sea \(g(z)=-z^{12}-iz^6+1\)
(a) Probar que \(g(z)\) no tiene raíces múltiples
(b) Hallar todas las raíces complejas de \(g(z)\)
Saludos!
Tema
2do Parcial 05/07/2008
(a) Probar que g(z) no tiene raíces múltiples
Un número es raíz multiple de g, si es raíz de g y por lo mnos de g'
Analizamos las raices de g'(z)
$$g'(z) = -12z^{11} - 6i z^5$$
Luego, \(g'(z) = 0 \Leftrightarrow -12z^11 - 6iz^5 = 0\)
Entonces tenemos \(-12z^11 - 6iz^5 = -6z^5(2z^6 + i) = 0 \Leftrightarrow -6z^5 = 0 \lor 2z^6 + i = 0\)
Caso \(-6z^5 = 0\)
De aca se desprende que z=0, entoces 0 es raiz de g'(z), falta ver que pasa en g(0)
\(g(0) = -0 - i*0 +1 \neq 0 \Rightarrow 0\) no es raiz de g
Caso \(2z^6 + i = 0\)
De aca sacamos que \(z^6 = \frac{-i}{2}\), vemos que pasa en g.
Si llamamos \(\alpha\) a los z talez que \(z^6 = \frac{-i}{2}\)
$$g(\alpha ) = -\alpha^{12} - i\alpha^6 + 1 = -(\alpha^6)^2 - i\alpha^6 + 1 = -(\frac{-i}{2})^2 - i\frac{-i}{2} + 1 \neq 0$$
Luego ningun \(\alpha\) es raiz de g, entonces g no tiene ninguna raiz en comun con g', entoces g no tiene raices multiples
Cualquir cosa pregunta
Eso esta bien,igual podias matar el ejercicio sacando las raices de una y mostrando q ninguna era multiple,pero esta bien igua =)
Firma
Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"