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Último ej que consulto por acá y después de rendir me pongo las pilas y colaboro un poco.
Nota: obviamente lo intenté resolver, pero planteando \(z=a+bi\) y a partir de ahí reemplazando se me volvió una cosa horrible. Y pasándolo a la forma trigonométrica no cambiaba mucho el asunto..
Por dónde le entro? 😮
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Una ayuda:
Pasas un termino restando pa'l otro lado y tomas modulo, con eso podes calcular el modulo de z.
Despues multiplicas ambos lados de la ecuacion por z hasta que se vaya el conjugado usando la propiedad \(z \overline{z}=|z|^2\)
Quimey
Gracias por la ayuda, al final recién me salió usando esas propiedades.. Primero busqué el módulo aplicando el módulo en ambos lados (después de pasar ese \({z}^{2}\) molesto restando), haciendo cuenterío y usando esas propiedades (y que \(\vert \overline{z} \vert = \vert z \vert )\) llegué a que el módulo era \(\frac{1}{2}\) .
Y después, volviendo al principio y reemplazando \(\vert z \vert\) por el valor obtenido, llegué a que \({\left(\frac{\overline{z}}{z}\right)}^{2} =\frac{-1.2}{\sqrt[2]{3} +i}\)
Así que justificando que \(z\neq0\) (que de hecho \(z=0\) es solución del ej), elevé todo a \(-1\) para poder operar fácilmente con lo de la derecha.
De ahí pasé todo a forma trigonométrica, comparé y chau, el resto es historia. Pero lo más importante fue que para pasar a la trigonométrica ya sabía de antemano que \(\vert \overline{z} \vert = \vert z \vert\) , entonces \(\vert {\left(\frac{\overline{z}}{z}\right)}^{2} \vert =1\)
Entonces me quedaron 5 soluciones posibles:
-\(z=0\)
-Y aquellas cuyo argumento era de la forma \(\frac{7}{6} \pi + 2k\pi <2\pi\)
Y listo. Vaya uno a saber si lo resolví bien. Igualmente muchas gracias 😉
Ojo que la condición para que un ángulo \(\alpha\) sea argumento de un \(z\) complejo es que \(0\leq\alpha<2\pi\) y vos únicamente estás pidiendo que \(\alpha<2\pi\) cosa incorrecta ya que estás repitiendo soluciones infinitamente .
a mi me dio el mismo modulo pero distinto el argumento ...
\(z^{2}=-(\sqrt{3}+i).|z|.\overline{z}^{2}\)