Probar que ~ es una relación de equivalencia y determinar cuántas clases de equivalencia existen.
Bueno... lo resolví a este, ahora no quiero subir la resolución, pero con reglas de divisibilidad y congruencia es fácil demostrar que es reflexiva, simétrica y transitiva.
Lo que yo probé es que eso era cierto si \({a^{2}} \equiv {b^2} (mod \, 5)\) luego b^2 solo podía ser congruente a 3 números y por lo tanto existían sólo 3 clases de equivalencia.... Quizás suba la resolución más tarde.
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Tenemos que probar reflexividad, simetría y transitividad. Reflexividad
Sabemos que R es reflexiva si para todo \(a \in \mathbb{Z}\) a R a.
Veamos que esto es cierto.
$$2a^{2}+3a^{2}=(2+3)a^{2}=5a^{2}$$
Luego es cierto que \(5|5\) en particular \(5|5a^{2}\).
R es reflexiva.
Simetría
R es simétrica si dado \(a,b \in\mathbb{Z}\) a R b \(\Rightarrow b R a\)
Asumamos que \(a R b\) queremos ver que \(b R a\)
Luego es verdadero que
$$2a^{2}+3b^{2} \equiv 0 (mod\, 5)$$
$${3b^{2}}\equiv{-2a^{2}} (mod\, 5)$$
$${-3b^{2}}\equiv{2a^{2}} (mod\, 5)$$
y como \(3\equiv{-2} (mod\, 5)\)
$${2b^{2}}\equiv{2a^{2}} (mod\, 5)$$
Veamos que pasa entonces con \(2b^{2}+3a^{2}\)
$${2b^{2}+3a^{2}}\equiv{2a^{2}+3a^{2}(mod\, 5)$$
y como vimos antes \({2a^{2}+3a^{2}\equiv{0} (mod\, 5)\)
Luego \(5|2b^{2}+3a^{2}\)
R es simétrica.
Transitividad.
Supongamos que aRb y bRc, queremos ver que aRc.
Luego como aRb y bRc.
$$5|2a^{2}+3b^{2}$$
$$5|2b^{2}+3c^{2}$$
Quiero ver que \(5|2a^{2}+3c^{2}\)
Luego \(2a^{2}\equiv{-3b^{2}} (mod \, 5)\)
y \(3c^{2}\equiv{-2b^{2}} (mod \, 5)\)
Luego \(5|2a^{2}+3c^{2}\) que es lo que quería demostrar.
Finalmente R es una relación de equivalencia.
Faltaría determinar la cantidad de clases de equivalencia.
Supongamos que a R b y saquemos alguna restricción sobre a y b
Luego \({2a^{2}+3b^{2}}\equiv{0} (mod\, 5)\)
$${2a^{2}\equiv{-3b^{2}} (mod\, 5)$$
pero \(-3\equiv{2} (mod \, 5)\)
$${2a^{2}\equiv{2b^{2}} (mod\, 5)$$
Pero como (5:2) = 1 entonces vale dividir por dos en ambos lados.
$${a^{2}\equiv{b^{2}} (mod\, 5)$$
Bueno ahora sabemos que la condición para que a esté relacionado con b es que \({a^{2}\equiv{b^{2}} (mod\, 5)\).
Basta con examinar los posibles valores para \(a\) módulo 5.
Luego a puede ser congruente a 0,1,2,3,4 o alguno de ellos más 5k con k entero.
Sin embargo si vemos esos valores al cuadrado son 0,1,4,9,16.
Pero eso es lo mismo que decir 0,1,4,4,1
Luego es claro que \(a^2 \equiv{0} (mod\, 5)\) o \(a^2 \equiv{1} (mod\, 5)\) o \(a^2 \equiv{4} (mod\, 5)\)
Por otro lado, la congruencia determina relaciones de equivalencia, y vimos que \(a^2\) solamente puede ser congruente a 3 valores (0, 1 y 4), por lo que existen 3 clases de equivalencia.
¿Hay alguna manera de mejorar la justificación de que sólo existen esas clases de equivalencia?
