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Tema

2ºCuatrimestre 2008 ejercicio 2 [sin resolve]

4 respuestas 6350 visitas
#1 klifort

Sea \(\chi = \lbrace 1, 2, 3, ...,111\rbrace\). Definimos la relacion \(R\) en \(P(\chi)\) en la forma:
si \(A\) y \(B\) son subconuntos de \(\chi\) entonces \(A R B\) si y solo si \(B - A\) no contiene ningun multiplo de 5

Determinar si R es reflexiva, simetrica, antisimetrica, transitiva

Luego envio mi resolucion

#2 klifort

No se si esta bien.. yo lo resolveria asi..

Reflexividad:

$$a R a \forall a \in R$$
\(A-A=\emptyset\) es vacio, por lo tanto no contiene ningun multiplo de 5

Es reflexiva

Simetria:

$$B-A \Longrightarrow A-B$$
expongo un contraejemplo
$$B = \lbrace1, 2, 3\rbrace A= \lbrace5, 2\rbrace$$
$$B-A = \lbrace1, 3\rbrace$$
$$A-B = \lbrace5\rbrace$$

No es simetrica

Antisimetria:

$$B-A \land A-B \Longleftrightarrow A=B$$

Expongo un contraejemplo:

$$B= \lbrace 1, 2, 3\rbrace A=\lbrace 2,3,4 \rbrace$$
$$B-A= \lbrace1\rbrac$$
$$A-B= \lbrace4\rbrace$$

\(A \neq B\) y se cumple la relacion.

No es Antisimetrica

Transitividad:

$$B-A \land C-B \Longrightarrow C-A$$
$$B-A = B\cap{A}^{c}$$
$$C-B = C\cap{B}^{c}$$

\((C\cap{B}^{c})\cap(B\cap{A}^{c})\) = \(C\cap{B}^{c} \cap B\cap{A}^{c}\)

$${B}^{c} \cap B = \emptyset$$
\(C\cap{A}^{c} = C-A\) no tiene multiplo de 5

Es Transitiva.

Primera vez que escribo en LaTeX.. por eso esta tan resumido..

Corrijan los errores por favor

Saludos

#3 exequiel131719

Fijate que la relación no es \(B-A\)... o sea, tenés que cambiar algunos - por \(R\).
Otra cosa, en la transitividad. Si \(B-A\) no contiene múltiplos de 5, y \(C-B\) tampoco, entonces quiere decir que(perdón por la informalidad):
-\(B-A\) no tiene múltiplos de 5 porque \(A\) sacó todos los que tenía \(B\)
-\(C-B\) no tiene múltiplos de 5 porque \(B\) sacó todos los que tenía \(C\).
Luego, \(C-A\) no va a tener múltiplos de 5, porque \(A\) sacaba todos los elementos que tenía \(B\)...
esto que dije no es una resolución, por la informalidad, pero es la idea por la que vale la transitividad(hay que escribirlo bien).
Me parece que tan claro lo último no queda, porque la intersección que escribís da \(\emptyset\)(\(A\cap \emptyset\eq= \emptyset\)) y de ahi inferís que no hay múltiplos de 5.
Espero que se entienda a qué me refiero.
Saludos.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#4 klifort

ahh tenes razon.. ahora lo veo.. y entonces como se escribiria la resolucion para la transitividad?

#5 FJL

Yo lo pensé así...críticas bienvenidas (me parece que está bien, pero estoy quemado).

Lo podés probar por el absurdo. Suponemos que haya un x, múltiplo de 5, que esté en C-A (porque C-A tiene multiplos de 5, por lo menos debe tener uno, digamos que es este), pero no esté en B-A (porque B-A no tiene multiplos de 5) ni C-B (porque C-B no tiene multiplos de 5).

$$x \in (C \cap A^c),\ x \notin (B \cap A^c),\ x \notin (C \cap B^c)$$
$$x \in (B \cap A^c)^c \iff x \in (B^c \cup A)$$
$$x \in (C \cap B^c)^c \iff x \in (C^c \cup B)$$
$$\Rightarrow x \in (B^c \cup A) \cap (C^c \cup B)$$
Entonces \(x \in (B^c \cap C^c) \cup (B^c \cap B) \cup (A \cap C^c) \cup (A \cap B)\).

Por partes:

  1. \(x \in (B^c \cap C^c) \Rightarrow x \in C^c\). Pero \(x \in (C \cap A^c) \Rightarrow x \in C\). Entonces \(x \in (C \cap C^C)\), no puede ser.

  2. \(x \in (B^c \cap B)\) no puede ser porque es vacío. y el conjunto vacío no tiene miembros.

  3. \(x \in (A \cap C^c) \Rightarrow x \in A\). Pero \(x \in (C \cap A^c) \Rightarrow x \in A^c\). Entonces \(x \in (A \cap A^c)\), no puede ser.

  4. \(x \in (A \cap B) \Rightarrow x \in A\). Pero \(x \in (C \cap A^c) \Rightarrow x \in A^c\). Entonces \(x \in (A \cap A^c)\), no puede ser.

Entonces x no puede existir. Por modus tollens, si x no puede existir, entonces si no hay ninguno en B-A, y no hay ninguno en C-B, no hay ninguno en C-A, y la relación es transitiva.

Firma

Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.