Sea \(A = \{ n \in \mathbb{N} : n|60^8\}\). Se define en \(A\) la siguiente relacion:
Para tener más en claro cuáles son los \(n \in A\), descompongamos a \(60^8\) en factores primos:
\(60 = 2^{2}.3.5 \Rightarrow 60^8 = 2^{16}.5^8.3^8\) y sabemos que \(n \in A \Leftrightarrow n \in \mathbb{N} \wedge n|2^{16}.5^8.3^8\)
¿Reflexiva?
\(R\) es reflexiva \(\Leftrightarrow \forall a \in A\) se cumple que \(a R a\).
Se puede mostrar que la relación no es reflexiva con un contraejemplo:
Elegimos \(a = 1\). Vemos que \(1 \in A\) pues \(1|60^8\). Pero \((1:1) = 1 \ngtr 1 \Rightarrow \lnot(a R a)\)
¿Simétrica?
\(R\) es simétrica \(\Leftrightarrow \forall a,b \in A\) se cumple que \(a R b \Rightarrow b R a\).
Sean \(a,b \in A\). \(a R b \Rightarrow (a:b) > 1 \Leftrightarrow (b:a) > 1 \Rightarrow b R a\).
Luego, la relación es simétrica.
¿Antisimétrica?
\(R\) es antisimétrica \(\Leftrightarrow \forall a,b \in A\) se cumple que \(a R b \wedge b R a \Rightarrow a = b\).
No lo es. Lo muestro con un contraejemplo:
\(2 R 2^2 \Leftrightarrow (2: 2^2) = 2 > 1 \Leftrightarrow (2^2: 2) > 1 \Leftrightarrow 2^2 R 2\). Como \(2 > 1\), tengo que \(2 R 2^2 \wedge 2^2 R 2\) pero \(2^2 \neq 2\)
¿Transitiva?
\(R\) es transitiva \(\Leftrightarrow \forall a,b,c \in A\) se cumple que \(a R b \wedge b R c \Rightarrow a R c\). No lo es. Lo muestro con un contraejemplo:
Sé que \(2 \in A\). Por otro lado, \(2.3|60^8 \Rightarrow 2.3 \in A\) y además \(3|60^8 \Rightarrow 3 \in A\)
\((2: 2.3) = 2 > 1\) (es decir, \(2 R 2.3\))
\((2.3:3) = 3 > 1\) (o sea, \(2.3 R 3\))
pero \((2:3) = 1 \ngtr 1 \Rightarrow \lnot(2 R 3)\).
Nota: Usé \(\lnot(a R b)\) para indicar que \(a\) no está relacionado con \(b\), porque no encontré cómo tachar la \(R\).
Estaría bueno si alguien puede darle una mirada al ejercicio y decir si está bien. Saludos.