$$Sea\,A\,=\{n\in \mathbb{N}\ :\ n\le 600\}$$
$$\textrm{Sea la relacion R}\,\subseteq A\,\times A$$
$$a\sim b\,\iff b\,=\,\left(a:600\right)$$
$$(a)\textrm{Determinar si R es reflexiva, simetrica, antisimetrica o transitiva.}$$
$$(b)\textrm{Determinar si R es una funcion inyectiva y calcular su imagen.}$$
$$(c)\textrm{Escribir por extension el conjunto}\,\{a\,\in A\:\,:\:\,a\,\sim 30\}$$
\((a)\)
$$Reflexiva\,\iff \forall \,a\,\in A\quad a\,\sim a$$
$$Si\ \exists \,a\,/\,a\,no\,\sim a\; \Longrightarrow R\ no\;es\;Reflexiva$$
$$Sea \quad a\,=\,101\; \left(101 \in A\right)\,$$
$$a\,\sim a\,\iff a\,=\left(a:600\right)\,,\; pero\;\left(101:600\right)\,=\,1\;\,\ne 101$$
$$\textrm{Luego, R no es reflexiva}$$
$$Simetrica\, \iff \; a\,\sim b\; \Longrightarrow b\,\sim a$$
$$Contraejemplo:\; Sea\; a\,= 14,\; b\,= 2\quad \,\left(a\,,\,b\,\in A\right)$$
$$a\,\sim b\; \iff b\, = \left(a:600\right)$$
$$14\,\sim 2\;, pues\; 2\,=\left(14:600\right)\quad pero\; 2\,no\sim 14\; pues\;14\,\ne \left(2:600\right)$$
$$\textrm{Luego, R no es simetrica}$$
$$Antisimetrica\, \iff \;a \sim b\,\; \wedge \,b\sim a\, \Longrightarrow a\,=\,b$$
$$a\, \sim b\; \iff\, b\,=\left(a:600\right)\; \Longrightarrow\, b\,=\,\left(b:600\right)\, \left(i\right)$$
$$b\, \sim a\; \iff, a\,=\left(b:600\right)\quad \Longrightarrow por\,\left(i\right)\,a\,=\,b$$
$$\textrm{Luego, R es antisimetrica}$$
$$Transitiva\,\iff a\,\sim b\; \wedge\; b\, \sim c\, \Longrightarrow a\, \sim c$$
$$a\,\sim b\; \iff b\,=\left(a:600\right)\, \Longrightarrow b\,=\,\left(b:600\right)\,\left(ii\right)$$
$$b\,\sim c\; \iff c\,=\left(b:600\right)\, \Longrightarrow por\,\left(ii\right)\;c\,=\,b$$
$$\Longrightarrow a\,\sim c$$
$$\textrm{Luego, R es transitiva}$$
$$\left(b\right)$$
$$R\;es\;inyectiva\; \iff a\,\sim b\; \wedge c\,\sim b\; \Longrightarrow a\,=\,c$$
$$Contrajemplo:\; Sea\; a\,=\ 14\; \wedge c\,=\ 202\; \left(a,c\; \in A\right)$$
$$\left(14:600\right)\,=\,2\quad \wedge \left(202:600\right)\,=\,2$$
$$\Longrightarrow a\sim 2\; \wedge \; b\sim 2\; pero\; a\, \ne b$$
$$\textrm{Luego, R no es inyectiva}$$
$$\textrm{La imagen de R queda determinada por los posibles valores de b}$$
$$\textrm{basta considerar todos los b tales que}\,b \mid 600\, \textrm{ya que}$$
$$a\le 600$$
$$600\,=\, 2^3\cdot 5^2\cdot 3$$
$$Luego,\; Imagen\; de\; R\; =\; 2^i\cdot 3^j\cdot 5^k\quad con:$$
$$0\,\le i\,\le 3\quad 0\,\le j\,\le 2\quad 0\,\le k\,\le 1$$
$$\left(c\right)$$
$$\{a\in A\,:\,a\sim 30\}$$
$$a\, \sim 30\iff 30\,= \left(a:600\right)\, \Longrightarrow a\,= 30\cdot k\;, k\in \mathbb{N}$$
$$a\in A\; \Longrightarrow 30\cdot k\, \le 600\; \iff k\le 20$$
$$Como,\, \left(30k:600\right)\, = 30$$
$$600\,= 2^3\cdot 5^2\cdot 3\; \wedge \; 30\,= 2\cdot 5\cdot 3$$
$$\Longrightarrow 2\nmid k\; \wedge 5\nmid k\; \textrm{caso contrario}\;\left(30k:600\right)\ne 30$$
$$\textrm{Luego, k solo puede ser 1 o 3 o 7 o 9 o 11 o 13 o 17 o 19}$$
\(Por\; lo\; tanto\; \{a\in A\;: a\sim 30\}\; =\; \{{30\cdot 1\,; 30\cdot 3\,; 30\cdot 7\,; 30\cdot 9\,; 30\cdot 11\,; 30\cdot 13\,; 30\cdot 17\,; 30\cdot 19\}\)
Espero que les sirva, pido disculpas si hay algo mal, ya es tarde y recién empiezo con TeX 😛
Saludos a todos!
$$\bigcap \nabla \bigcap$$
Editado por mi. Corrección punto (c). Gracias Marcelo
Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
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