Resumen de Conjuntos y Relaciones

La idea de este resumen es poner sinteticamente, todas las definiciones que nos dieron en un solo lugar, como una guia de referencia para consultar cuando se este encarando un ejercicio de este tema. Si quieren agregar algo, posteenlo abajo, y yo lo agrego =)

Conjuntos:

Sean A, B son conjuntos y V un conjunto referencial:

Tomo \(\wedge\) como "y", \(\vee\) como "o inclusivo", y \(\veebar\) como "o exclusivo"

Union: \(A \cup B = \lbrace x \in V / x \in A \vee x \in B \rbrace\)

Interseccion: \(A \cap B = \lbrace x \in V / x \in A \wedge x \in B \rbrace\)

Complemento:\(A^c = \lbrace x \in V / x \notin A \rbrace\)

Diferencia: \(A - B = \lbrace x \in V / x \in A \wedge x \notin B\rbrace\)

Diferencia Simetrica: \(A \bigtriangleup B = \lbrace x \in V / x \in A \veebar x \in B\rbrace\) (Tambien se peude pensar como \(A\bigtriangleup B = (A - B) \cup (B - A )\)

Partes: \(P(A) = \lbrace B / B \subset A \rbrace\) (En otras palabras, todos los posibles subconjuntos de A, incluyendo el vacio)

Producto Cartesiano: \(A x B = \lbrace (a,b) / a\in A \wedge b \in B \rbrace\)

Valen las siguientes propiedades:

Asociatividad : \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\) Vale tambien para \(\bigtriangleup\) y \(\cap\)

Conmutatividad: \(A \cup B = B \cup A\) Vale tambien para \(\bigtriangleup\) y \(\cap\)

Transitividad: \(A \subset B \wedge B \subset C \Longrightarrow A \subset C\)

Algo parecido a Distributiva: \((A \cap B) \cup C = (A\cup C)\cap (B\cup C)\) y \((A \cup B) \cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C)\)

Leyes de De Morgan: (son bastante faciles de recordar y suelen ser utiles tb)

Relaciones:

\(R\) es una relacion de A en B si \(R \subset A x B\) y se notaba \(aRb\)
Tambien si aparece algo tipo "\(R\) es una relacion en A" se refiere a \(R \subset A x A\)

Tipos de relaciones:

• Reflexiva: \(a R a \forall a \in A\)

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• Simetrica: \(aRb \Rightarrow bRa\)

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• Antisimetrica: \(aRb \wedge bRa \Rightarrow a =b\)

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• Transitiva: \(aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc\)[/*:m]

Una relacion se dice de orden si es : Reflexiva, antisimetrica y transitiva
y de equivalencia si es : Reflexiva, simetrica y transitiva

Particion: el conjunto P es una particion de A si cumple que:

• \(P \neq \emptyset \forall x \in P\) (ningun elemento de la particion es el conjunto vacio)

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• Dos elementos cualquiera de la particion son disjuntos (esto es que no se intersecan)

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• Para todo \(a\in A\), a esta en la particion P.[/*:m]

Clases de equivalencia: Tomo \(R_e\) una relacion de equivalencia, entonces la clase de equiv se define:

(por ejemplo, la clase de equivalencia del 3: \(C_3 = \lbrace b \in A / b R_i 3 \rbrace\)

Una propiedad interesante:

• El conjunto de clases de equivalencia de A, forman una particion de A

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• Las particiones de A forman las clases de equivalencia de A[/*:m]

O sea, es casi lo mismo hablar de una cosa q de la otra...

Funciones: \(ARB\) es una funcion \(f: A \rightarrow B\) si para todo \(a \in A\) existe un unico \(b \in B / (a,b) \in R\)

Imagen de una funcion: \(Im(f) = \lbrace b \in B / f(a) = b \forall a \in A \rbrace\)

Inversa: Tomo S un subconjunto de B \(f^{-1}(S) = \lbrace a \in A / f(a) \in S \rbrace\)

Tipos de funciones:

• Inyectiva: \(f(a) = f(b) \Longrightarrow a = b\)
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• Suryectica: \(\forall b\in B \exists ! a \in A / f(a) = b\) ( es lo mismo que decir que la imagen de f es todo el conjunto B)
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• Biyectiva:\(\forall b \in B \exists ! a \in A / f (a) = b\) (en otras palabras, es biyectiva si solo si es inyectiva y suryectiva) [/*:m]

Bueno espero que le haya servido a alguien! =)

no deberia mover esto a apuntes?

Firma

Es que la idea era tenerlo a mano al principio de la seccion del mismo nombre a lo q escriba(mos con marce).. si queres copialo a apuntes =)

Advertencia: este es un post muy on topic y muy jodón.

Faltó el axioma de elección: Dada una familia de conjuntos \(\{A_i\}_{i \in I}\), existe un conjunto A tal que para todo I existe un único elemento \(a_i \in A_i\) tal que \(a_i \in A\). Es decir, dada una familia de conjuntos, podemos elegir un elemento de cada uno de ellos, y armar un nuevo conjunto.

Piénsenlo para conjuntos finitos: es obvio. Por ejemplo, si me dan todos los conjuntos de la forma {1}, {1,2}, {1,2,3}, etc... elijo el 1 en el primero, y en cada uno elijo el que sobra de los anteriores.

Para que vean que no es tan inocente como parece, piensen lo siguiente. Hay un conjunto (se llama el conjunto de Vitali), que se arma así. Tomemos la siguiente relación de equivalencia en los reales. Decimos que \(r \sim r'\) si y solo si \(r - r' \in \mathbb Q\). Efectivamente es una relación de equivalencia. Tenemos entonces las clases de equivalencia, que son una familia de conjuntos: para cada número real, tenemos una clase de equivalencia. Por el axioma de elección, que es una propiedad de los conjuntos, podemos armar un conjunto de la siguiente manera: de cada clase de equivalencia, agarramos un único elemento, y lo ponemos en nuestro nuevo conjunto, llamémoslo \(V\). Si alguien puede imaginarse la pinta que tiene ese conjunto, y convencerme de ello, le regalo un marroc.

Alguans consecuencias del axioma de elección:

• Es posible partir una esfera en cinco pedazos, reordenarlos y obtener dos esferas idénticas a la original.

• Hay conjuntos en el plano a los que no tiene sentido asignarles la noción de "tamaño" de ninguna manera.

• Dados dos conjuntos, o tienen la misma cantidad de elementos, o uno tiene más que el otro (y viceversa, si esto es cierto, entonces vale el axioma de elección).

• Se puede hacer inducción "más allá del infinito" (se puede demostrar cosas por inducción para los reales, por ejemplo).

• El producto cartesiano de infinitos conjuntos es no vacío (!).

Vuelvan al mundo real, no podía no agregar esto.