[A resolver]Recuperatorio Primer parcial 2005

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Notemos \(\Re\) a tal relación. Probar que es una relación de equivalencia equivale a probar que es reflexiva, simétrica y transitiva.
-REFLEXIVA: \(A\Re A,\;\forall A\in P(\mathbb{N})\). En efecto, escribimos:
\(A\Re A\Leftrightarrow \{ 2,7,9 \}\subset {(A\Delta A)}^{c}\eq={\emptyset}^{c}\eq=\mathbb{N}\). Claramente \(\{ 2,7,9\}\subset \mathbb{N}\). Luego es reflexiva.
-SIMÉTRICA: \(A\Re B\Rightarrow B\Re A\). En efecto, escribimos:
\(A\Re B\Leftrightarrow \{ 2,7,9 \}\subset {(A\Delta B)}^{c}\eq={(B\Delta A)}^{c}\Leftrightarrow B\Re A\). Es decir, es inmediata por ser conmutativa \(\Delta\). Luego es simétrica.
-TRANSITIVA: \(A\Re B\land B\Re C\Rightarrow A\Re C\). La idea es la siguiente:
\(A\Re B\Leftrightarrow \{2,7,9\}\subset{(A\Delta B)}^{c}\). Puesto que \(A\Delta B\eq=(A \cup B)- (A \cap B)\), el conjunto \(\{2,7,9\}\subset {(A\Delta B)}^{c}\Leftrightarrow 2,7,9\notin (A\Delta B)\Leftrightarrow 2,7,9\in A \cap B\).
\(B\Re C\Leftrightarrow \{2,7,9\}\subset{(B\Delta C)}^{c}\). Con el mismo argumento que antes, concluyo \(\{2,7,9\}\subset{(B\Delta C)}^{c}\Leftrightarrow 2,7,9\in B \cap C\).
Finalmente, notá que los elementos 2,7,9 están en las intersecciones correspondientes; luego \(2,7,9\in A,C\Leftrightarrow \{2,7,9\}\subset A \cap C\Rightarrow 2,7,9\notin A\Delta C\Leftrightarrow \{2,7,9\}\subset {(A\Delta C)}^{c}\Leftrightarrow A\Re C\). Luego, es transitiva.
Puesto que la relación es transitiva, reflexiva y simétrica, es de equivalencia, como queríamos probar.
Fijate si te sirvió. Saludos. Por cierto, cómo fue en análisis?

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Hola!!

Para mi hay algo que falta en lo que puso exequiel con lo de transitiva😛, porque si \(x\in {(A\Delta B)}^{c}\) entonces \(x\) puede pertenecer a la intersección, pero también puede no pertenecer ni a \(A\) ni a \(B\). Es decir lo que digo es que:
si \(x\in {(A\Delta B)}^{c}\) \(\Rightarrow\)\(x\in (A \cap B)\) o \(x\in ({A}^{c} \cap {B}^{c})\), es decir:
si \(x\in {(A\Delta B)}^{c}\) \(\Rightarrow\)\(x\in [(A \cap B)\cup({A}^{c} \cap {B}^{c})]\)
(O sea que las opciones son que x pertenezca a A y a B o que no perteneza a ninguna de las dos...)

De esta forma quiero probar que es transitiva:
Mis hipótesis son que
\(A\Re B\) : \({\{2,7,9\}\subset{(A\Delta B)}^{c}\)\(\Rightarrow\)\({\{2,7,9\}\subset [(A \cap B)\cup({A}^{c} \cap {B}^{c})]\)
\(B\Re C\) : \({\{2,7,9\}\subset{(B\Delta C)}^{c}\)\(\Rightarrow\)\({\{2,7,9\}\subset [(B \cap C)\cup({B}^{c} \cap {C}^{c})]\)

Queremos ver que si \(A\Re B\land B\Re C\Rightarrow A\Re C\).
Sea \(x\) un elemento de \({\{2,7,9\}\),

Si \(x \in (A\Delta B)}^{c}\),

\(x \in (A \cap B)\) o \(x \in ({A}^{c} \cap {B}^{c})\)

Caso 1: \(x\in (A \cap B)\)
si \(x\in (A \cap B)\) entonces \(x\in A\) y \(x\in B\), y como\(B\Re C\), luego \(x\in C\) (porque como dijimos antes o pertenece a B y a C, o no pertenece a ninguno de los dos)
Luego como \(x\in A\) y \(x\in C\) , \(x\in (A \cap C)\) ,

Caso 2: \(x \in ({A}^{c} \cap {B}^{c})\)
Si \(x \in ({A}^{c} \cap {B}^{c})\) entonces \(x \in {A}^{c}\) y \(x \in {B}^{c}\), pero como\(B\Re C\), entonces \(x \in {C}^{c}\) también (por lo mismo que dijimos antes, x pertenece a B y a C o a ninguno de los dos, o sea que si no pertenece a B no puede pertenecer a C).
Entonces tenemos que
\(x \in {A}^{c}\) y \(x \in {C}^{c}\)

En ambos casos llegamos a que \(x \in (A\Delta C)}^{c}\) para todo elemento de \({\{2,7,9\}\), es decir que

Entonces llegamos a que \(A\Re C\), que era lo que queríamos probar...

Cualquier cosa corríjanme!
Saludos! 🙂