$$\textrm{Algebra I - Primer Parcial}$$
$$(17/05/2008)$$
$$\textrm{1. Decidir si para todo par de conjuntos A y B vale:}$$
$$\textrm{(a)}\left(A\:\times\:A\right)\cup\left(B\:\times\:B\right)\,\subseteq\,\left(A\:\cup\:B\right)\,\times\,\left(A\:\cup\:B\right)$$
$$\textrm{(b)}\left(A\:\times\:A\right)\cup\left(B\:\times\:B\right)\,=\,\left(A\:\cup\:B\right)\,\times\,\left(A\:\cup\:B\right)$$
\(\textrm{(a)}\)
$$\textrm{Sean A,B conjuntos}$$
$$\left(A\:\times\:A\right)\,=\,\{\,\left(a,a\right)\,\textrm{tales que}\,a\in\,A\,\}$$
$$\left(B\:\times\:B\right)\,=\,\{\,\left(b,b\right)\,\textrm{tales que}\,b\in\,A\,\}$$
$$\textrm{Sea I}\,=\,\left(A\:\times\:A\right)\,\cup\,\left(B\:\times\:B\right)\,=\{\,\left(x,x\right)\,\textrm{tales que}\,x\in\,A\,\vee\,x\in\,B\,\}$$
$$\textrm{Sea P}\,=\,\left(A\:\cup\:B\right)\times\left(A\:\cup\:B\right)\,=\{\,\left(s,t\right)\,\textrm{tales que}\,s\in A\,\vee\,s\in B\;y\;t\in A\,\vee\,t\in B\,\}$$
$$\textrm{I es un caso particular de P con}\,s,t\in A\,\vee\,s,t\in B$$
$$Luego\,P\,\subseteq I$$
$$\textrm{(b)}$$
$$I\,=\,P\,\iff\,I\subseteq P\,\wedge P\,\subseteq I$$
$$I\subseteq P\,\textrm{por (a)}$$
$$\textrm{pero P no esta contenido en I para el caso}\,s\in A\,\wedge t\in B$$
\(Luego\,I\ne P\)
Espero haberlos convencido.
Saludos, y que les haya ido bien.
Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
