$$\textrm{Sea ${(a_n)}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesi\'on de n\'umeros enteros. Se define la relaci\'on $\mathfrak{R}$ en $\mathbb{N}$ como:}$$
$$(n, m) \in \mathfrak{R}\textrm{ si y s\'olo si }5\mid \; 2a_n + 3a_m.$$
$$\textrm{a) Probar que $\mathfrak{R}$ define una relaci\'on de equivalencia.}$$
$$\textrm{b) Para la sucesi\'on definida por $a_n = 2^n + 7 \cdot 3^{10n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$, hallar $\{n\ \in\ \mathbb{N}\mid\;(n, 8n)\ \in \mathfrak{R}\}$}$$
Lindo ejercicio. Veamos.
a)
Para que sea de equivalencia, necesitamos probar que es reflexiva, simétrica y transitiva.
- Reflexiva: \(\forall\ n \in \mathbb{N}, (n,n) \in \mathfrak{R}\)
Entonces tiene que pasar que \(5\mid 2a_n + 3a_n\), pero esto es \(5\mid 5a_n\), lo cual es cierto para todo \(n\) y todo \(a_n\) entero.[/*:m] - Simétrica: \(\forall\ n, m \in \mathbb{N}, (n, m) \in \mathfrak{R} \Rightarrow (m, n) \in \mathfrak{R}\)$${5\mid 2a_n + 3a_m \iff 2a_n + 3a_m \equiv 0 \pmod{5} \iff -3a_n + 3a_m \equiv 0 \pmod{5} \iff 3a_n \equiv 3a_m \pmod{5} \iff a_n \equiv a_m \pmod{5}}$$Entonces \(a_n \equiv a_m \pmod{5} \Rightarrow a_m \equiv a_n \pmod{5}\), porque \(\equiv\) define una relación de equivalencia entre enteros (módulo 5). Entonces \(2a_n + 3a_m \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow 2a_m + 3a_n \equiv 0 \pmod{5}\).[/*:m]
- Transitiva: \(\forall\ k, n, m \in \mathbb{N},\ (k, n) \in \mathfrak{R} \land (n, m) \in \mathfrak{R} \Rightarrow (k, m) \in \mathfrak{R}\)
Como vimos antes, \((p, q) \in \mathfrak{R} \iff a_p \equiv a_q \pmod{5}\). Entonces es fácil ver que si \(a_k \equiv a_n \pmod{5}\), y \(a_n \equiv a_m \pmod{5}\), entonces usando que \(\equiv\) es una relación de equivalencia entre enteros (módulo 5), se concluye que \(a_k \equiv a_m \pmod{5} \iff 5\mid 2a_k + 3a_m\).[/*:m]
Por lo tanto, es una relación de equivalencia.
b)
Vamos a usar la definición mas cómoda de \(\mathfrak{R}\), que es que \((n, m) \in \mathfrak{R} \iff a_n \equiv a_m \pmod{5}\).
Acá queremos ver para que \(n \in \mathbb{N}\) se cumple que
$$2^n + 7 \cdot 3^{10n+1} \equiv 2^{8n} + 7 \cdot 3^{10(8n)+1} \pmod{5}$$
Para esto viene a salvarnos el teorema de euler:
\(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\), si \((a:n)=1\).
Entonces la onda acá es ver cuantos 4 podemos hacer aparecer de la galera, ya que, al igual que para todo natural primo, \(\varphi(5) = 5 - 1\), que es 4. También nos vamos a dar el lujo de cambiar algunos números por sus restos, módulo 5.
A ver, manos a la galera:
$$2^n + 2 \cdot 3^{2 \cdot 4 \cdot n + 2n + 1} \equiv 2^{2 \cdot 4 \cdot n} + 2 \cdot 3^{4\cdot 20 \cdot n} \cdot 3 \pmod{5}$$
$$2^n + 2 \cdot {(3^{2\cdot n})}^4 \cdot 3^{2n + 1} \equiv {(2^{2\cdot n})}^4 + 2 \cdot {(3^{20 \cdot n})}^4 \cdot 3 \pmod{5}$$
$$2^n + 2 \cdot 3^{2n + 1} \equiv 1 + 2 \cdot 3 \pmod{5}$$
$$2^n + 2 \cdot 3^{2n + 1} \equiv 2 \pmod{5}$$
Ahora podemos usar que todo \(n \in \mathbb{N}\) se escribe como \(4k\), \(4k+1\), \(4k+2\) o \(4k+3\), para algún \(k \in \mathbb{N}\).
Para cada caso, veamos si se cumple:
-
\(n=4k\):
$$2^{4k} + 2 \cdot 3^{2(4k)} \cdot 3 \equiv 2 \pmod{5}$$$${(2^k)}^4 + 2 \cdot {(3^{2k})}^4 \cdot 3 \equiv 2 \pmod{5}$$$$1 + 2 \cdot 3 \equiv 2 \pmod{5}$$$$7 \equiv 2 \pmod{5}$$Lo cual es cierto.[/*:m]
-
\(n=4k+1\):
$$2^{4k+1} + 2 \cdot 3^{2(4k+1)} \cdot 3 \equiv 2 \pmod{5}$$$$2^{4k} \cdot 2 + 2 \cdot 3^{2\cdot 4\cdot k} \cdot 3^3 \equiv 2 \pmod{5}$$$${(2^k)}^4 \cdot 2 + 2 \cdot {(3^{2k})}^4 \cdot 27 \equiv 2 \pmod{5}$$$$2 + 2 \cdot 2 \equiv 2 \pmod{5}$$Lo cual es falso.[/*:m]
-
\(n=4k+2\):
$$2^{4k+2} + 2 \cdot 3^{2(4k+2)} \cdot 3 \equiv 2 \pmod{5}$$$$2^{4k} \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^{2\cdot 4\cdot k} \cdot 3^5 \equiv 2 \pmod{5}$$$${(2^k)}^4 \cdot 2^2 + 2 \cdot {(3^{2k})}^4 \cdot 243 \equiv 2 \pmod{5}$$$$4 + 2 \cdot 3 \equiv 2 \pmod{5}$$Lo cual es falso.Y por último,[/*:m]
-
\(n=4k+3\):
$$2^{4k+3} + 2 \cdot 3^{2(4k+3)} \cdot 3 \equiv 2 \pmod{5}$$$$2^{4k} \cdot 2^3 + 2 \cdot 3^{2\cdot 4\cdot k} \cdot 3^7 \equiv 2 \pmod{5}$$$${(2^k)}^4 \cdot 8 + 2 \cdot {(3^{2k})}^4 \cdot 2 \equiv 2 \pmod{5}$$$$8 + 2 \cdot 2 \equiv 2 \pmod{5}$$Lo cual es fa -- cierto![/*:m]
Entonces los casos cuando se cumple son cuando \(n=4k\) o \(n=4k+3\), o lo que es lo mismo:
$$n \equiv 0 \pmod{4} \lor n \equiv 3 \pmod{4}$$
Y listo.
(Si se están preguntando, si, en el parcial claré tantas obviedades como acá 🙂 )
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.