Tengo una duda con este ejercicio el Item ii, el i lo pude hacer sin problemas, copio todo por el que lo quiere, y si quieren el item i diganme y subo lo que hice:
1)Se define A=\(\mathbb{N} x \mathbb{N}\) la siguiente relacion:
(a,b)\(\sim\)(c,d) \(\Leftrightarrow\) c - a = b - d
i)Probar que \(\sim\) es una relacion de equivalencia en A.
ii) Si (x,y) \(\in\) A, determinar el cardinal de las clases de equivalencia de (x,y)
Muchas Gracias...
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Profesor Frinks: " Esto es un Cuadrado Ordinario." \(\Box\) Gorgory: " Oye Oye, Mas Despacio Cerebrito! "
si \((a,b)\) esta en la clase de equivalencia de \((x,y)\) entonces\(x-a=b-y <=> x+y=b+a\)
\(x+y\) esta fijo, entonces tengo que buscar los pares\((a,b) \in\)\(\mathbb{N} x \mathbb{N}\)
tales que\(b+a=x+y\), que es lo mismo que \(x-a=b-y\)es decir, la diferencia entre \(x\) y \(a\) es la misma que hay entre \(y\) y \(b\) o sea que si \(a=x+k\) entonces \(b=y-k\)
si te fijas el par \((x+y-1,1)\)esta en la clase de equivalencia y usando lo de arriba te das cuenta que lo que tenes que hacer es ir sacandole una unidades a \(x+y-1\)y sumarselas a \(1\)es decir, los pares de la clase de equivalencia van a ser
entonces todos los pares \((x+y-k,k)\) con \(1 \leq k \leq x+y-1\) van a estar en la misma clase
ahora veamos que son todos
si tenes un par \((a,b)\)en la clase entonces \(x+y=b+a\) luego \(a=x+y-b\)con \(1\leq b \leq x+y-1\)(si \(b\geq x+y\) entonces \(b+a\geq x+y+1\) lo cual no pasa porque esta en la misma clase y la suma deberia ser\(x+y\)) por lo tanto como \((a,b)=(x+y-b,b)\), (a,b) esta en la clase de equivalencia y entonces son todos los que buscabas.
en total tenes \(x+y-1\)elementos
espero se entienda, por ahi di muchas vueltas.
Hola, yo lo pense de esta forma que creo que es equivalente, aunque un poco mas ridícula:
Si tu meta es decir cuantos \((a,b) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N}\) existen tal que \(a+b = x+y\), para un \(x+y\) dado, es lo mismo que decir "de cuantas maneras puedo elegir dos naturales que sumen a un N?". Entonces yo lo imagino como dos barras que pueden estar un % "llenas" o "completas". El juego es decir que siempre la suma de lo "lleno" de las dos barras tiene que ser N, solo se puede incrementar de a "bloques" iguales (porque son naturales), y ninguna barra puede estar vacía (porque 0 no es natural). Entonces, por ejemplo, si (x,y) son (3,4), su suma es 7. Un (a,b) que cumplen que su suma es 7 es (2, 5), y la imagen mental es:
La onda es que, si elijo un a, el b ya queda determinado (es x+y-a). Entonces puedo elegir cuanto llenar de la columna de la derecha. Puedo llenarla con 6, con 5, con 4, con 3, con 2, o con 1. Osea, empezando por x+y-1, la puedo llenar hasta llegar al 1. Entonces voy a poder llenarla de x+y-1 posibles formas, y como la columna de la izquierda siempre me queda determinada por la de la derecha, hay una posibilidad de izquierda por cada una de la derecha, y la respuesta es x+y-1.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
